例:设整数集I上的模2同余关系为R,这 是Ⅰ上的等价关系。 在R下,把I中所有与0有关系即与0等价 的整数划分为一类,记为E; 与1等价的所有整数划分为一类,记为O 集合I中的元素或者属于E,或者属于O, 且它们互不相交。 由关系R把I分为两类:E和O, 这就是的一个划分
• 例：设整数集I上的模2同余关系为R,这 是I上的等价关系。 • 在R下，把I中所有与0有关系即与0等价 的整数划分为一类，记为E； • 与1等价的所有整数划分为一类，记为O • 集合I中的元素或者属于E，或者属于O, 且它们互不相交。 • 由关系R把I分为两类：E和O， • 这就是I的一个划分
三、等价关系与划分 定义214:设R是A上的等价关系,对于 每个a∈A,与a等价的元素全体所组成的集 合称为由a生成的关于R的等价类,记为 a],即|al={xx∈A,xRa},a称为该等价类 的代表元。 在不会引起误解的情况下,可把|a]简记 为|a 定义2.15:设R是A上的一个等价关系, 关于R的等价类全体所组成的集合族称为 A上关于R的商集,记为A/R,即 A/R={alla∈A}
• 三、等价关系与划分 • 定义 2.14：设R是A上的等价关系, 对于 每个aA,与a等价的元素全体所组成的集 合称为由a生成的关于R的等价类,记为 [a]R, 即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类 的代表元。 • 在不会引起误解的情况下,可把[a]R简记 为[a]。 • 定义 2.15：设R是A上的一个等价关系, 关于R的等价类全体所组成的集合族称为 A 上 关 于 R 的 商 集 , 记 为 A/R, 即 A/R={[a]|aA}
例:整数集I上的模2同余关系R,其等价类为 0][1]l 其中[0]={…,-4,-2,0,2,4,…,}=[2|=4|=|-2|=|- [1}={…,-3,1,1,3,}=3=-1=[-3 因此A/R={|01 例:整数集I上的模n同余关系是I上的等价关系。 I上关于R的等价类为: 0}={…,-2n,n,0,n,2n,} [1={,2n+1,n+1,1,n+1,2n+1,} In-l|={…,-n-1,1,n-1,2n-1,3n-1,} 这些类又称上模n同余类。 I上关于R的商集I/R={011,n-}
• 例：整数集I上的模2同余关系R，其等价类为 [0],[1]。 • 其中[0]={…,-4,-2,0,2,4,…}=[2]=[4]=[-2]=[- 4]=… • [1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=… • 因此A/R={[0],[1]} • 例:整数集I上的模n同余关系是I上的等价关系。 I上关于R的等价类为： • [0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…} • [1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…} • … • [n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…} • 这些类又称I上模n同余类。 • I上关于R的商集I/R={[0],[1],…,[n-1]}
定理213:设R是A上的等价关系,则 (1)对任一a∈A,有a∈|al; (2)若aRb,则|a=[b]; (3)对ab∈A,如果(a,bER则|a∩b]= a∈A 此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的(2)、(3)说明:互相等价的元素属于同一个等价类, 而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明:A上等价关系R所对应的等价类的并就等于 A由此定理说明A上等价关系R所对应的等价类集合是A的 个划分。 该定理告诉我们,给定一个等价关系就唯一确定一个划分
• 定理 2.13：设R是A上的等价关系, 则 • (1)对任一aA,有a[a]; • (2)若aRb, 则[a]=[b]; • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]=; a A a A = (4)[ ] 此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的(2)、(3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类， 而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于 A.由此定理说明A上等价关系R所对应的等价类集合是A的 一个划分。 该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分
证明:(1对任一a∈A,因为R是A上的等 价关系,所以有Ra(R自反),则a∈|a (2)对ab∈A,aRb,分别证明[a|∈[bl b|∈|a 对任意x∈[a](目标证明x∈[b,即xRb) 下面证明[bc|a 对任意x∈[b(目标证明x∈al,即xRa)。 (3)对a,b∈A,如果a,b)gR,则[ab= 采用反证法。假设|abH≠,则至少存 在x∈a]∩[b]l
• 证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等 价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。 • ( 2 )对 a,bA, aRb, 分别证明 [ a][b]， [b][a]。 • 对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。 • 下面证明[b][a] • 对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。 • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]= • 采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存 在x[a]∩[b]