定理:设函数fA→B,则f逆关系 是函数当且仅当是双射
• 定理：设函数f:A→B, 则f的逆关系 是函数当且仅当f是双射
定义34:设函数fA→B是双射,f的逆关 系称为f的逆函数,f1:B→A。若记 a)=b,则记f1(b)=a。 定理3.1:若函数FAB是双射,则f1 B→A也是双射。 证明:(1)f-是满射(1是B到A的函数,即 证明对任意a∈A,存在b∈B使得f1(b)=a) (2)f1是内射1是B到A的映射,即证明对任意 b,b2∈B当b1≠b2时有(b1)≠f1(b2) 采用反证法。 若存在b,b2∈B,b1≠b2,但f1(b1)=f(b2)=a 由此导出矛盾
• 定义3.4：设函数f:A→B是双射, f的逆关 系称为f的逆函数，f -1：B→A。若记 f(a)=b, 则记f -1 (b)=a。 • 定理3.1：若函数f:A→B是双射,则f -1： B→A也是双射。 • 证明：(1) f -1是满射(f -1是B到A的函数,即 证明对任意aA,存在bB,使得f -1 (b)=a) • (2) f -1是内射(f -1是B到A的映射,即证明对任意 b1 ,b2B,当b1b2时有f -1 (b1 ) f -1 (b2 ))。 • 采用反证法。 • 若存在b1 ,b2B,b1b2，但f -1 (b1 )= f -1 (b2 )=a。 • 由此导出矛盾
由(1)(2)知f是双射。 FA→B是双射,则f1:B→A是双射, 称是可逆函数
• 由(1)(2)知f -1是双射。 • f:A→B是双射,则f -1：B→A是双射, • 称f是可逆函数
定理32:若A→B是双射则(f)=f。 证明:因为是A到B的双射,所以f1是B到 A的双射。 因此()4是A到B的函数且为双射。 (--sf ∫∈(f) (f1)2=f
• 定理 3.2：若f:A→B是双射,则(f -1 ) -1=f 。 • 证明：因为f是A到B的双射,所以f -1是B到 A的双射。 • 因此(f -1 ) -1是A到B的函数且为双射。 • (f -1 ) -1 f , • f (f -1 ) -1 , • (f -1 ) -1= f
F定理36:若函数A→B存在逆函数/则 f=IA,foff 证明:若函数A→B存在逆函数f1则和f1 都是双射。 是A到B的函数,f是B到A的函数, 因此八是A到A的函数,I也是A到A的函数。 (是恒等函数,即IA(a)=a 对任意a∈A,(目标是证明fyf(a)=a 类似可以证明ff=IB
• 定理3.6：若函数f:A→B存在逆函数f -1 ,则 f –1 f =IA, f f -1=IB • 证明：若函数f:A→B存在逆函数f -1 ,则f和f -1 都是双射。 • f是A到B的函数，f -1是B到A的函数， • 因此f -1 f是A到A的函数，IA也是A到A的函数。 (IA是恒等函数，即IA(a)=a) • 对任意aA，(目标是证明f -1 f(a)=a) • 类似可以证明f f -1=IB