(4)∪a=A a∈A 对任意的x∈Ua必存在某个a∈A使得x∈aA a∈A 所以Jd≤A 又对任意的x∈A有x∈[x]Ua a∈A 所以A∈∪a a∈A 因此有Ud=A
a A a A = (4)[ ] x a a A x a A a A 对任意的 [ ],必存在某个 ,使得 [ ] a A a A 所以[ ] a A x A x x a 又对任意的 ,有 [ ] [ ] a A A a 所以 [ ] a A a A = 因此有[ ]
例:设A={1,2,3,4},R={(1,1)(2,2) (3,3),(4,4),(1,3),(2,4,3,1),(4,2)为等价关 系。 ·其等价类为[={1,3} 「2={2,4} 4}={2,4} 划分∏={,2 前面是给定等价关系唯一确定划分,反 过来,给定一个划分,也可唯一确定 个等价关系
• 例：设 A={1,2,3,4}，R={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1), (4,2)}为等价关 系。 • 其等价类为[1]={1,3} • [2]={2,4} • [3]={1,3} • [4]={2,4} • 划分={[1],[2]} • 前面是给定等价关系唯一确定划分，反 过来，给定一个划分，也可唯一确定一 个等价关系
设非空集A上划分I={A1,A2…,n},定义A 上二元关系R:aRb当且仅当存在A,使得 a,b∈A: 即R=(A1×A)∪(A2×A2)∪∴∪(An×An 容易证明R是等价关系 定理214:集合A上的任一划分可以确定A 上的一个等价关系R。 例:设A={a,b,c}的一个划分∏={a,b},{c}, 由Ⅱ确定A上的一个等价关系R: R=({a,b}×{a,b})U(e}×{e)={(a,a),(a,b),(b,a) ,(b,b),(C,c)
• 设非空集A上划分={A1 ,A2 ,…,An }，定义A 上二元关系R：aRb当且仅当存在Ai ,使得 a,bAi。 • 即R=(A1A1 )∪(A2A2 )∪…∪(AnAn ) • 容易证明R是等价关系。 • 定理2.14：集合A上的任一划分可以确定A 上的一个等价关系R。 • 例：设A={a,b,c}的一个划分={{a,b},{c}}, 由确定A上的一个等价关系R： • R=({a,b}{a,b})∪({c}{c})={(a,a),(a,b),(b,a) ,(b,b), (c,c)}
定理215:设R1和R2是A上的等价关系R1=R2 当且仅当AR1=A/R2 定理2.13和定理215说明集合A上的任一等 价关系可以唯一地确定A的一个划分。 定理214和定理215说明集合A的任一划分 可以唯一地确定A上的一个等价关系。 集合A上给出一个划分和给出一个等价关系 是没有什么实质区别的。 设集合A上的等价关系为R1和R2,它们通过并 和交运算而得到的关系是不是等价关系? 若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联 系
• 定理 2.15:设R1和R2是A上的等价关系,R1=R2 当且仅当A/R1=A/R2。 • 定理 2.13 和定理 2.15 说明集合A上的任一等 价关系可以唯一地确定A的一个划分。 • 定理2.14和定理 2.15说明集合A的任一划分 可以唯一地确定A上的一个等价关系。 • 集合A上给出一个划分和给出一个等价关系 是没有什么实质区别的。 • 设集合A上的等价关系为R1和R2 ,它们通过并 和交运算而得到的关系是不是等价关系? • 若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联 系