定理(二):设S是自然数集N的非空子集, 如果0∈S,且当n∈S时,必有n+1∈S,则 S=N。 定理(三):设S是自然数集N的非空子集, 如果0∈S,且当0,1,2,n∈S时,必有n+1eS, 则S=N 数学归纳法,有两种形式: 1)第一数学归纳法 要证一个结论对所有自然数都真,只须做两件 事:1)当m=0时,结论成立。 2)若当m=k结论成立,则当n=k+1结论也成立
定理(二)：设S是自然数集N的非空子集， 如果0S，且当nS时，必有n+1S，则 S=N。 定理(三)：设S是自然数集N的非空子集， 如果0S，且当0,1,2,nS时，必有n+1S， 则S=N。 数学归纳法，有两种形式： (1)第一数学归纳法 要证一个结论对所有自然数都真，只须做两件 事：1)当n=0时，结论成立。 2)若当n=k结论成立，则当n=k+1结论也成立
(2)第二数学归纳法 要证一个结论对所有自然数都真,只须做两件 事 ①当n=0时,结论成立。 ②若当nk结论成立,则当n=k+1结论也成立 定理(四):设P(n)是一个与自然数n有关 的结论。若对于自然数0,结论成立;并 且当对自然数k结论成立时,对于自然数 k+结论也成立,则该结论对所有自然数 都成立
(2)第二数学归纳法 要证一个结论对所有自然数都真，只须做两件 事： ①当n=0时，结论成立。 ②若当nk结论成立，则当n=k+1结论也成立 定理(四)：设P(n)是一个与自然数n有关 的结论。若对于自然数0，结论成立；并 且当对自然数k结论成立时，对于自然数 k+1结论也成立，则该结论对所有自然数 都成立
定理(五):设P(n)是一个与自然数n有关 的结论。若对于自然数0,结论成立;并 且当对自然数0,1,2,k结论成立时,对 于自然数k+1结论也成立,则该结论对所 有自然数都成立
定理(五)：设P(n)是一个与自然数n有关 的结论。若对于自然数0，结论成立；并 且当对自然数0,1,2,k结论成立时，对 于自然数k+1结论也成立，则该结论对所 有自然数都成立
二、集合的递归定义 定义41:集合A的递归(归纳)定义由三部 分组成: (1)基础设置某些对象是在所要定义的集 合A中的 元素产生A中新元素的方法A的现有 (2)归纳(递归):建立一种由集合 (3)闭合:除了有限次应用1)和(2)产生集 合A的元素外,A中再没有其它元素
二、集合的递归定义 定义4.1:集合A的递归(归纳)定义由三部 分组成: (1)基础:设置某些对象是在所要定义的集 合A中的 (2)归纳(递归):建立一种由集合A的现有 元素产生A中新元素的方法。 (3)闭合：除了有限次应用(1)和(2)产生集 合A的元素外,A中再没有其它元素
例:设整数集Z是全集,非负偶整数集 E+={xx三0,且x=2y,y∈Z},它可以递归定义如下: (1)(基础)0∈E十。 (2)(归纳)如果n∈E则n+2∈E (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整数外再 没有其它的整数在E+中。 例:下面的归纳定义所给出的是怎样的集合? (1)(基础)3∈S。 (2)(归纳)如果xy∈S,则x+yeS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整数外,再 没有其它的整数在S中。 3的正整数倍全体
例 ： 设 整 数 集 Z 是全集 , 非 负 偶 整 数 集 E+={x|x≧0,且x=2y,yZ},它可以递归定义如下: (1)(基础)0E+ 。 (2)(归纳)如果nE+ ,则n+2E+ 。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整数外,再 没有其它的整数在E+中。 例：下面的归纳定义所给出的是怎样的集合？ (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS,则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整数外,再 没有其它的整数在S中。 3的正整数倍全体