4偏序集合中的几个特殊元素 定义:设(A,≌是一个偏序集合,B<A若 存在一个元素b∈B对所有b∈B都有bb 则称b是B的最大元;若都有bb,则称b 是B的最小元。特别B=A时,称b为A的 最大元或最小元。 例:A1={1,2,3,4,5,6A1,s 1为A1的最小元,6为A1的最大元 A的最小元为1,A的最大元无
4.偏序集合中的几个特殊元素 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若 存在一个元素bB,对所有b‘B都有b’≤b, 则称b是B的最大元；若都有b≤b‘, 则称b 是B的最小元。特别B=A时，称b为A的 最大元或最小元。 例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1 ,) 1为A1的最小元，6为A1的最大元 (A1 ,|) A1的最小元为1，A1的最大元无
A2={2,3,6,12,24,36},(A2, A2既无最小元,也无最大元 偏序集或它的子集不一定存在最小元(最 大元) 偏序集存在最小元最大元),它的子集也 不一定存在最小元(最大元) 定理:在(A中,BA,若B存在最大元 (最小元),则必唯一。 证明:假设B有两个最大元a1,a2
A2={2,3,6,12,24,36},(A2 ,|) A2既无最小元，也无最大元。 偏序集或它的子集不一定存在最小元(最 大元) 偏序集存在最小元(最大元)，它的子集也 不一定存在最小元(最大元) 定理：在(A,≤)中，BA，若B存在最大元 (最小元)，则必唯一。 证明：假设B有两个最大元a1 ,a2
定义:设(A,是一个偏序集合,BcA,若存在一个 元素b∈B,且在B中不存在元素b使b≠b,b≤b,则称 b是B的极大元;若B中不存在元素b使b≠b,b'≤b, 则称b是B的极小元。特别B=A时,称b为A的极大 元(极小元) 注意极大元与最大元的区别。 例:A1={1,2,3,4,5,6},(A1, 1为A1的极小元,6为A1的极大元 (A1,) 这些说明: 极大元(极小元不唯 最大元最小元)必是极大元(极小元) 对任何非空有限子集,极大元、极小元一定存在 若子集B有最大元最小元),则B的极大元(极小元) 唯
定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若存在一个 元素bB, 且在B中不存在元素b‘使bb’,b≤b‘,则称 b是B的极大元；若B中不存在元素b’使bb‘, b’≤b, 则称b是B的极小元。特别B=A时，称b为A的极大 元(极小元) 注意极大元与最大元的区别。 例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1 , ≤) 1为A1的极小元，6为A1的极大元 (A1 ,|) 这些说明： 极大元(极小元)不唯一 最大元(最小元)必是极大元(极小元) 对任何非空有限子集，极大元、极小元一定存在 若子集B有最大元(最小元)，则B的极大元(极小元) 唯一
定义:设(A,≤是一个偏序集合,BcA,若 存在一个元素a∈A,对所有b∈B都有b≤a, 则称a是B的上界;对所有b'∈B都有a≤b', 则称a是B的下界 注意最大元(最小元)与上界(下界)的区别 最大元(最小元)要求最大元(最小元)∈B, 而上界(下界)无此要求 例:A2={2,3,6,12,24,36},(42,D P={2,3,6}, B={2,3}
定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若 存在一个元素aA, 对所有b'B都有b'≤a, 则称a是B的上界；对所有b'B都有 a≤b', 则称a是B的下界。 注意最大元(最小元)与上界(下界)的区别 最大元(最小元)要求最大元(最小元)B, 而上界(下界)无此要求 例:A2={2,3,6,12,24,36},(A2 ,|) P={2,3,6}, B={2,3}
上界(下界)可能存在,也可能不存在。 上界(下界)不一定唯一。 上界(下界)可以是B中的元素,也可以不 是 定义:设(A,是一个偏序集合,BcA, 若a∈A是B的上界且对B中每个上界a'都 有a≤a,则称a为B的上确界(或称最小上 界);若a∈A是B的下界且对B中每个下界 a'都有a'≤a,则称a为B的下确界(或称最大 下界)
上界(下界)可能存在，也可能不存在。 上界(下界)不一定唯一。 上界(下界)可以是B中的元素，也可以不 是 定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA， 若aA是B的上界且对B中每个上界a'都 有a≤a', 则称a为B的上确界(或称最小上 界)；若aA是B的下界且对B中每个下界 a'都有a'≤a,则称a为B的下确界(或称最大 下界)