金属晶粒尺寸与拓扑参量分布数字特征间的关系

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1989.04.005 北京科技人学学报 第11卷第1期 Vol.II No.4 1989年7月 Journal of University of Scicnce and Technology Beijing July 1989 金属晶粒尺寸与拓扑参量分布 数字特征间的关系 刘国权 （金相教研生) 摘要：以“金馆品粒Eucr指数'空侧直径相对爷值规律”为基础，木文术用列 表方式系统地归纳总结了金城多品体的品粒尺小与拓扑叁量两类参量的分布数学特征之间的 定量函数关系。这些关系可相当使利地用下根据品拉尺寸参量的分布数据直接佔计出拓扑 参量分布的宽度、不对际程度和峰态等，并对这种估计方法的可靠程度进行了实验毁证。 关键词：体视学，拓扑学，品粒钻构，分布数字待征 Quantitative Relationships between the Numerical Descriptive Measures of Size Distributions and Those of Topological Parameter Distributions of Metal Grains Liu Guoquan ABSTRACT:Based on the cquivalence principle betwecn normalized Euler indices and diameter of metal grain,quantitative relationships betwcen numeri- cal descriplive measurcs of size distributions and those of topological parameter distributions of metal grains have been derived,labulated,and discussed,which can be used very conveniently to infer the width,skewness,kurlosis,ect.of distribulions of topological paramcters from the dala of grain size distributions. Experimental verification has also been offered. KEY WORDS:Topology,stercology,distribution,grain structure 晶粒的尺寸分布和拓扑参量分布是了解金属多品体显微组织必不可少的两类信息，且二 1988一01一26收种 318

第 卷第 期 年 北 京 科 技 大 ‘ 广 学 报 一 少 一 。 、‘ 、 一 、 以 ，尸 金属晶粒尺寸与拓扑参量分布 数字特征 间的关 系 刘 国 权 金 相教 研室 摘 要 以 “ 金 城晶 拉 指 数 ‘， 空 众 丫 径 妇 对 等值规 津 ，， 为基础 ， 本 文 采 坏 夕 人方 式系统 地归纳总 结 金 拭多 晶体 的 晶拉 尺 寸与拓扑参量 两类 参 量的分 布数 ‘ 护特 征之 间的 定星 函 数关 系 。 这些 关 系 可相 当便 利地 用 卜根据 晶拉 尺 寸参且 的 分布 数据 ’ 接 估 计 出 拓扑 参且 分 布的 宽 度 、 不 对 称 程 度和峰 态 等 ， 井对 这 种 沽 计方法 的 可 靠程 度进 行 实 验验 证 。 关健词 仁沁货 ， 拓扑学 ， 品拉 结 构 ， 分 布玫 字 待征 洲 。 ， 一 一 ， 、 一 ‘ 旧 ， ， 一 ， 认 、 少 ， 手 、 、 ， 、 ， 一 ， 。 一 、 乙 、 一、 一 、 一 一 、 ’ 夕 ， 。 。、 ， 一 ， 晶粒的尺 寸分布和 拓扑 参量分布是 厂解 金属多 币，体 显微组 织 必不 可少 的两 类信息 ， 且二 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．04．005

者之间存在着一定的对应关系。Rhines等人最早对这类关系进行了定量探讨['。近年来， DeHoff和Liu根据金属晶粒的积分平均曲率与三维空间平均切直径之间的对应关系，推断金 属晶粒的界面数与空间直径之间存在线性相关关系，提出了金属晶粒Euer指数与空间直径 的相对等值规律【2~4)。然而，由于分布的特性须综合运用均值、标准差、变异系数、偏态 系数以及蜂态系数等多种数字特征，方能较全面地加以描述，而文献中提供的这方面资料极 少，且有的表达方式又易引起误解〔1】，故本文导出了晶粒尺寸（体积、直径）和晶粒拓扑 参量（角隅数、祾边数、界面数）分布的各数字特征之间的数值对应关系，并列表总结以便 于应用。对于晶粒尺寸，考虑了文献中常采用的绝对值、相对值和对数值3类情况，其中第 三类情况尤其适用于近似符合对数正态分布的品粒尺寸分布。 1分布数字特征对应关系的推导结果 金属晶粒Elcr指数与三维空间直径相对等值规律(】可以改写成如下的简洁形式： N3u=k3D (1) N31=k31D () N32-2=kg2D (3) 式中N3a、V31、N32和D依次为多晶体中任意晶粒的角隅数、棱边数、界面数和空间直径 (平均切直径或等体积直径【41)；k30、:和ka2则为与(Na:D)取值有关的3个常数： k3:=Ng1/D,k30=2k3:j3,kg2=kg1/3 其中Ng1和D分别代表Ns:和D在多晶体中的算术平均值。 另外，晶粒体积V直径D之间的关系为： V=kD3 (4) 式中：为晶粒形状因。 本文采用分布数字特征的标准定义： 算术均值： X=(1/n)上X: 标准差： G(X)=〔42(X)2 (5) 变异系数：C(X)=σ(X)X 偏态系数：Cs(X)=43(X)/σ3(X) 蜂态系数：C.(X)=〔44(X)σ4(X)]-3 式中“，()=1n)三(X.-X) 注意到行系式 u,(mX+a)=m'4,(X) 319

者之 间存 在着一定的对应 关系 。 等 人 最早 对这类 关系进 行 了定 量探讨 〔 ’ 〕 。 近年来 ， 和 根据金 属 晶粒 的积分平 均 曲率 与三维空 间平均切直 径之 间 的对应 关系 ， 推 断 金 属 晶 粒 的界 面数 与空 间直 径之 间存在线 性 相 关关 系 ， 提 出 了金 属 晶 粒 指 数 与空 间直 径 的相对等值规律 〔 一 丢 ’ 。 然而 ， 由于分布的特性须综合运 用 均值 、 标准差 、 变异 系 数 、 偏 态 系数以 及峰 态系数等多 种数字特征 ， 方能 较全面地 加以描述 ， 而 文 献 中提供的这方 面资料极 少 ， 且有 的表达 方 式又 易引起误 解 〔 ‘ 〕 ， 故本文导 出 了晶粒 尺寸 体积 、 直径 和 晶粒 拓扑 参量 角隅数 、 棱边数 、 界面数 分布 的各 数字特 征之 间的数值 对应 关 系 ， 并 列表总结以 便 于应 用 。 对 于 晶粒 尺 寸 ， 考虑 了文献 中常采 用的 绝 对值 、 相对值和 对数 值 类情况 ， 其 中第 三类情况 尤其 适 用于近 似符合对数 正态分布 的晶 粒 尺寸分布 。 分布数字特征对应关系 的推导结果 金 属 晶粒 指数 与三 维空 间直径 相对等 值规 律 〔 〕 可以 改写 成如 下 的简洁形 式 。 。 儿 忿 一 汽。 式 中 。 。 、 。 、 。 和 依 次 为多 晶体 中任意 晶粒 的 角隅数 、 棱 边数 、 界 面数和 空间直径 平 均 切直 径或 等 体积直 径 〔 〕 。 、 工和 则 为 与 。 ， 取 值有 关 的 个常数 。 ， ， 。 吞 ， 厂 其 中 和 分别 代表 。 ， 和 在 多晶 体 中的算术 平均值 。 另 外 ， 品 粒体积 犷 和直 径 之 间 的 关系 为 犷 。 “ 式 中 。 为 晶粒 形状 因子 。 本 文采 用 分布数 字特 征的标谁 定 义 算术 均 值 乙 ‘ 标 准差 变异 系数 偏态 系数 峰 态 系数 式 中 井 二 注 意到 有关 系式 〔 拼 〕 牙 。 拼 “ 。 〔拼 『 〕 一 、 一 一 习 、 一 乒 用 拼

S S ()四酒管讯 1)2 (0)℃ 10)2 11)126(011)2 651110 (ou)r (.1111.20 (ipi)r2楼 (4)22 (+atea)/(q)ots (qul+cqu1)/(qu1)0 (e/ul+0c)8/(uI)o (t/1014icoe/任(E (E/u1+zc)8/(u) (0)00c3 (9)0ic3 (0)p13 10)00c3 10).060010)0 (AUI)D8/I* 051)p 2 8/Au]+I 2 必 IExUl (3-802)51 N 320

一辍乙﹂︶ 一心︺︵︶口， 一省乙任︶ ﹄ 一︶︺︵， 一翎︶忍‘ 一之︸丫八︺口 ︸之勺︶峨乙︵弓 咬锡二丫‘︶︵乙 勺、侣︶之︵︺ ︶劝灿 之︶叼︵、 勺勺、 ︵心︶二 翻嫉们者洲乙︶ 一︶口 一︵︶ 概。 ︺、 、 ︺” 一︺翎︶﹁ 一︺︵︶﹃ 一︺峨︶ ︵ 二袱﹄︾︺丫， 勺︺峨 、 。峨︵︺劝丫︶﹃ 勺︵︶﹃ 岁心︵工 心︵︶ 丫勺︵ ︺冰︶产、边翻味箱 一芝之峨。︶﹂︵盆︵口‘。。 工一﹃闷︶︵口种门 、一八︶。 一一︸峨︶︵、 、︸︶的己十。。州门 三一飞白老︶︵口工门 一︵” 、一户曰︺︶。。门 ︸ ︵ ‘一概︸︶口。 一一老勺︵︶十︵。。匀。门 ︺‘洛勺 ︶劝︵‘ ︶﹁ 洛︶乙 ︺‘峨勺︶︺· 之︶猫弓‘ 司由匕，。“” ︵︶刁。 ︵︶劝奋 火︶︹ 二 裁味二爹剑 ﹃﹃二的﹄。﹄。日月昭。书一罗﹄。 都 声 翎入︶仍工。 匕 一谷口︵。︸翎另工 ︵ 勺口 、一之狱︶叫 。 勺︺‘ 之劝侣︵︶︵﹄。 勺劝峨 辍 专 魂”” 闷“ 叫 勺心 喇缪冰沂︶ 佘 屯 加 … ，叫 ，叫 户叫 一。格的”“ ︸卜的 工心。月 工已 一 一闷口 猫勺洲 之一勺峨蕊。。门 一闷。。” 闷伙 魂”“ 刃。 心” 只 绍 霸 ﹃一﹄的 一一之﹃﹃。﹄月日。卜‘。。月二﹄日切戈 嵘帐权坦李朴创留友应似翻裸尔名每十‘称姆理坷叱日 嵌 ， 三匕︶气“月 一之口。 一之口‘ 之七。“翻 匕到‘ 一找匕。” 、之。 乙。的 匕。工 乙“ … … 岑霖于良褥令 …… 竺︸。﹄月切璐 月工国﹃州璐。 二哪 ， ‘ 种 一卜。叱 户

存在，式中m和a为常数，则以式(1)~(5)为基础进行一系列的数学处理（详细过程略），即 可获得表1所总结的两大类分布之间的一系列数值对应关系。表1第1~4行、5~7行和 8~10行分别为绝对值分布、相对值分布和对数值分布的情况，其中8~10行中出现的C:、 C3:和C32是由下式表示的3个常数： C3n=Inks.-(1/3)Ink:(=0,1,2) 2分析与讨论 由表1可获知如下信息： (1)在讨论晶粒界面数分布与其它分布的关系时，使用（界面数一2）代替界面数常常 更为便利。 (2)晶粒的角隅数、棱边数、（界面数-2）、空间直伦（平均切直径或等体积直伦）4 个参量的绝对值、相对值及对数值的相应分布分别具有相同的不对称程度和蜂态。即使在给 定多晶体的g。、k31、a2和。的数值未知的情况下，仍然可以由上述4个参量中的任一个 的分布类型推断其余的3个。 (3)采用参量绝对值的变异系数和对数值的标谁差（即儿何标准差【1）表征分布宽度的 方法在文献中均有报道。表1表明，不论采用这两种方法中的哪一种，晶粒的角隅数、棱边 数、（界面数一2），直径4个参量的分布宽度亦均相等。当采用几何标准差表征分布宽度 时，晶粒体积分布宽度3倍于直径分布宽度。 (4)只有当给定多晶体的：（和/或a1、k2)数值已知时，才能由晶粒直径均值D 推知各拓扑参量的均值。另一方面，由给定参量的对数值的平均值（如lnD,ln7和lnNs。 等)可以容易地推知其它参量的几何均值。若利用表1由晶粒尺寸（体积）分布的数据推知 各拓扑参量的几何均值时，则还要知道k,值（后者隐含在常数C0、C3:和C32中）。 晶粒的三维空间尺寸（体积或直伦）和拓扑参量的实验测定都是相当困难的，然而前者 的测定比后者的要容易得多。故表1的一个直接用途就是根据晶粒尺寸分布的实验数据推知 拓扑参量的分布情况。对于无须知道任何值即可进行的分布宽度、峰态和不对称程度的推 估工作，表1的运用是极便利的。 由前文可知，欲求ka6、k3:利s2的值，需要先道拓扑参量的均值，这就使利用晶粒 尺寸数据和表1推估拓扑参量的均值的工作失去了意义。一种补救办法是用Coxeter统计模 型或14面体模型的拓扑参量均值作为实际晶粒拓扑参量的均值的估计值【5】。这种方法对于 晶粒已经充分稳态生长的多晶体不会引入太大误差，但对晶粒未经足够长时间稳态生长的 情况恻导致过高估计。在需要由晶粒尺寸数据推估拓扑参量儿何均值时，则可按上法先估计 k30、k31和k32的值，并取3=π/6，再根据表1进行推估。图1是根据退火纯铁的单方向空 间切直径的实验数据「2)，按晶粒尺寸分组后整理绘成的。表明取π/6为k3的近似值是合理 的。 表2和表3以及图2是利用退火纯铁【2)和A1-S合金【8)的实验数据对表1的可靠性进 行验证的结果，计算时采用样本数字特征代替了总体数字特征。例如，采用s(X)代替了σ (X)。验证结果表明，利用表1根据晶粒尺寸分布数据推估拓扑参量的分布宽度、不对称程 321

存 在 ， 式中 和 为常数 ， 则以 式 为 基础进 行一 系列 的数学 处理 详细过程 略 ， 即 、 一 可获得表 所总结 的两大类分布之 间的 一 系 列数 值对应 关 系 。 表 第 行 、 行和 一 行 分别 为绝对 值分布 、 相 对值分布和 对数 值 分布 的情况 ， 其 中 一 行 中出现 的 。 、 。 ，和 是 由下 式表示 的 个 常数 。 。 介 一 厂 九。 ， ， ， 分析 与讨论 由表 可获知如 下信 息 在讨论晶 粒 界面数分布 与其它分布 的关 系时 ， 使 用 界 面数 一 代替界 面数常常 更 为 便利 。 晶 粒 的角 隅数 、 棱 边数 、 界 面数 一 忿 、 空 间直 径 平 均切直径或等 体积直 径 个参量 的绝 对值 、 相对值及 对数 值 的相应 分布分别 具 有 相 同 的 不对称程 度和 峰态 。 即使 在 给 定多晶 体 的 。 。 、 秃。 ， 、 。 和秃。 的数值未 知 的情况 下 ， 仍然 可以 由上述 个参量 中的 任一个 的 分布类 型 推 断其 余 的 个 。 采 用 参量绝对值 的变异 系数和 对数值 的标 准差 何标准差 〔 ‘ 〕 表征分布宽 度的 方法在 文献 中均有报道 。 表 表 明 ， 不 论 采 用这两种方法 中的哪一种 ， 晶粒 的 角隅数 、 棱边 数 、 界 面数 一 ， 直径 个参量 的分布 宽度 亦均 相等 。 当采 用 几 何标准差表征分布 宽 度 时 ， 晶 粒体积分 布宽 度 倍于直 径分布宽 度 。 只 有 当 给定多 晶体 的 。 和 或 庵 。 ， 、 数值 已知 时 ， 才 能 由晶粒直径 均值 推 知各 拓扑 参量 的均值 。 另 一方 面 ， 由给定 参量 的对数值 的平均值 如 ， 犷和 。 等 可 以容 易地推知其它 参量 的几何均值 。 若利用表 由晶粒尺 寸 体积 分布的数 据 推 知 各拓 扑 参量 的几 何均值时 ， 则还 要知道龙 值 后者隐含在常数 。 。 、 。 ，和 中 。 晶 粒的 三 维空 间尺寸 体 积或直径 和 拓扑参量 的实验测定都是相 当 困难 的 ， 然 而 前者 的测定 比 后 者 的要容 易得 多 。 故 表 的 一 个直接 用途 就是 根 据晶 粒 尺寸 分布 的实验数 据推 知 拓扑参量 的分布情况 。 对于无 须 知道 任 何 庵值即 可进 行 的分布宽 度 、 峰态和 不对称 程 度 的推 估工 作 ， 表 的运用 是极 便利 的 。 由前 文可 知 ， 欲求 掩 。 。 、 ，和 一 踌 。 的值 ， 需 要先 知道拓 扑参量 的均值 ， 这就使 利 用 晶粒 尺寸数据和表 推估拓 扑 参量的 均值 的工作 失去 了意义 。 一种补救办法是用 统 计模 型或 面体模 型 的拓扑参量均值作为实 际 晶粒拓 扑参量的均值的估计值 〔 ’ 。 这种方法 对于 晶 粒 已经充分稳态生长 的多晶 体 不会引 入 太大误 差 ， 但对 晶粒未经 足够长时 间稳 态 生 长 的 情况 则导致过 高估计 。 在需要 由晶粒 尺 寸数据推估拓扑 参量儿何均值时 ， 则可按上 法 先 估计 寿 。 、 秃。 和 。 的值 ， 并取寿。 二 ， 再 根据表 进 行推估 。 图 是 根据退火纯铁 的单方 向空 间切直径 的实验数据 〔 ’ ， 按 晶粒尺寸分组后整理绘 成 的 。 表 明 取 二 为 的近似值是 合理 的 。 表 和表 以 及 图 是 利用 退火纯铁 〔 “ 〕 和 一 合金 〔 〕 的实验数据对表 的可靠 性进 行验证 的结 果 ， 计算 时采 用样 本数字特征代替 了总体数字特征 。 例 如 ， 采 用 代 替 了。 。 验 证 结果 表 明 ， 利 用表 根据 晶 ’ 准尺 一 寸分布数据推估拓 扑 参量的分布宽 度 、 不对称程

表2退火纯铁屬粒尺寸和拓扑参量的分布数字特征实测值和计算值的比较 Table 2 Numerical descriptive measures of Lopological parameter distribu- tions and grain size distributions of pure iron annealed 数 持 征 参 5(X) C(X) (1 Ce(X) 小30（实湖：计京：） 22.86/22.80 9.19/8.98 0.12'0.39 0.01,-0.18 -0.18/-0.24 V」1（实测/i京！） 31.29/34,19 11.23/13.47 0.20.39 0.01/-0.18 -0.48/-0.21 N32(实测/i计1) 13.43/13.40 1,741,49 0.35/0.31 0.04/-0.48 -0.48/-0.24 (N32-21(实渊/计算1)11.13/11.40 1,71/4,49 0.41/0,39 0,04/-0.48 -0,48/-0,24 1nN3o(实测) 3,02 0,53 0,18 -1.28 1,49 1nN30(i计算1ii计”) 3,03/3,03 0.51/0.51 0.17/0.17 -1.45/-1,l5 1.70/1.70 1n31(实湖) 3,12 0,53 0.15 -1,28 1.9 Inv31(i计攻1ii计京2) 3.13/3.43 0.5l/0,51 0.15/0.15 -1.45/-1.15 1.701.70 1n(N32-2)(实想) 2.32 0,53 0.23 -1.28 1,49 1n(、3g-2)(i计算1/ihp.2)2,32.34 0.51/0.51 0.22/0.22 -1.15/-1.15 1.70/1.70 D(实湖)，“ 120.84 17.60 0.39 -0,18 -0.21 1nD(实测) 4.70 0.51 0,11 -1.45 1.70 lnv(实测) 13.41 1,51 0.11 -1,15 1.70 正：表中各参致的计算值均系根据表1、品粒尺寸实测数据以及N31的理论值（取Coxeter统i计模型）i算伏得 的，下标“1”和“2”分别表小计算时系采用品粒空间直达和体积实测数据 表3A【-5,2w1%S合金晶粒尺寸和拓扑参量的分布数字特征实测值和计算值的比较 Table 3 Numerical descriptive mcasures of topological parameter distribu- tions and grain size distributions of Al-5.2wt Sn alloy 分 数 特 征 :(X) C (X) Ci(X) C:(X) N3艺（实湖） 12,48 3.50 0.28 0.38 -0.18 N32(计算)1 13.40 3,49 0.26 0.20 -0.07 Y32(f算)2 12.18 3.21 0.26 0,20 -0.07 (N32-2)(实灌) 10.48 3.50 U.33 0,38 -0.18 (N32~2)(i计算)1 11.40 3,49 0.31 0,20 -0.07 (N32-2)(算)z 10.48 3.21 0.31 0.20 -0.07 1n(N3兰-2)（实测） 2.29 0.35 0.15 -0,14 -0.24 1n(N32-2)(i计算)1 2.38 0.34 0.14 -0.73 0.48 1n(N32-2)(计算)2 2.30 0,34 0.15 -0.73 0.48 D(实湖)，m 414,78 127,01 0.31 0.20 -0.07 1nD(实测) 5.98 0,34 0.06 -0.73 0.48 l:太中各参量的计算值均系根据衣1和品粒空间直径的实测数据北算失得的，下行：·1”和“？”分别表心计算时 系采用￥31的理论值（取Coxcters统计模型）和突测值 322

表 退 火纯铁 昌粒尺 寸 和拓 扑参 的分布数字特征 实侧值 和 计算值的 比较 、 · 一 一 分 布 数 牛乍 征 参 址 万 戈’ 心 ， 入 了 石 入 入 实侧 计算 口 入 实测 计弥 一 入 灾测 算 一 实 测 计 算 入 实汉 入 元 · 算 一 ‘ 舜 入 实测 计 算 计 林 一 实汉咬 、 、 。 一 川 一 算 计 势 灾汉 ， 实 侧 实 测 主 尹 。 八 。 八 。 。 创 曰 。 了 。 。 ‘ 。 吕 。 。 一 ’ ’ 工 。 。 。 。 。 。 。 厂 。 。 广 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 一 一 。 奥 一 。 一 一 一 一 。 一 。 ‘ 一 。 一 。 一 。 ，一 一 。 一 一 一 。 吕 一 。 一 。 一 一 一 ‘ 一 一 。 一 一 一 。 。 。 ‘ 。 一 一 。 。 。 了 注 表 中各参 虽的 计算位均 系根 据 表 、 品粒 尺 寸实测 数据 以 及 的理 论 放 取 统 计模型 计 算 获得 的 ， 卜标 “ ” 和 “ ” 分 别 表 ， 七计抹时系 采用 晶拉 空 间直 径 和体 积实测 数据 表 一 写 合 金晶 粒 尺寸 和拓 扑参 的分布 效字特征 实 洲 值 和 计算值 的比较 洲 一 一 、 ‘ ‘ ， 。 、， 乙 ， 一 。 分 布 数 莽 特 征 参 盆 了 ， ‘ 声 云 几 阿 实 测 。 。 一 。 计 算 “ 。 一 ， 计算 。 一 一 实侧 一 」 。 一 一 计算 。 。 。 一 一 计算 。 。 。 。 一 闪 一 实 侧 艺 曰 。 场 一 一 洲 ’ 一 艺 计 算一 谷 。 一 一 工吕 一 计 算 。 。 一 刀 实侧 ， ， 一 实 彻 。 。 一 友中 各 参 量的 计算 值均 系 根据 表 和晶粒 空 间 直 径的实 教据 汁算 获得 的 ， 卜价 “ ” 和 “ ，” 分 别 表 干计茸时 系采 的 艳 仑 飞 咬仅 统 卜模型 月一实 测 ‘