D0I:10.13374/i.issn1001053x.1988.02.039 北京钢铁学院学报 第10卷第2期 Journal of Beijing University Vol.10No.2 1988年4月 of Iron and Steel Technology Apr.1988 圆平面分布摩擦情况下的平衡条件 杨熙冲 (理论力学教研室) 摘 要 本文引用文献〔1,2)巾提出的转动中心的概念，对于接触面积为一圆的情况， 作了兵体分析。通过预设转动中心的位置，导出了转动中心在圆面内或外时的平衡 条件，并算出了一组结果，可供实际应用。 关键词：摩擦，分布摩擦，平衡条件 The Equilibrium Codition of a Body with Distributed Friction Yang Xichong Abstract The distribution of friction is studied,when the contact area between a body and stationary plane is a cycle.This method is based upon the concept of transiant rotation center.The equilibrium condition is obtained,based on the hypothesis that the rotation center is in (on) /outside the contact cycle.A series of parameter values are given. Key words:friction,distributed friction,condition of equilibrium 1987-05一24收稿 271
口 第 卷第 期 年 月 北 京 钢 铁 学 院 学 报 了 。 。 圆平面分布摩擦情况下的平衡条件 杨熙冲 理论力学教研室 沪 摘 要 本文引用文献〔 ， 〕中提出的转动中心的概念 ， 对于接触面积为一圆的情况 ， 作了兵 体分析 。 通过预设转动中心的位置 ， 导 出了转动中心在圆面内或外时的平衡 条件 ， 并算出了一组结果 ， 可供实际应用 关键词 摩擦 ， 分布摩擦 ， 平衡条件 ， 丁 丁 。 ， 加 ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．02．039
前 言 在工程实际应用中，常常会遇到平面分布摩擦条件下的平衡问题，通常采用将力和 力矩分别考虑的方法，看力是否超过最大滑动摩擦力，力矩是否超过滑动摩擦力偶 矩，以此判断物体是否平衡，这种方法在理论上是不正确的，在实用上也是不精确的。 本文将综合考虑力系的总体效应。因此，物体在将失去平衡时的运动趋势，一般情 况下，既不是平动，也不是转动，而是平面运动。预设此时的瞬时转动中心的位置，就 可以找出摩擦力的分布规律，从而得到相应的平衡条件。 1摩擦力系的主向量和主矩 dA 设物体与固定平面的接触面积为一圆，半 P 径为R,如图1所示。且正压力是均匀分布的： fpdA 压力中心与圆心C重合。 1.1转动中心O在圆面积内的情形 如图1所示，设O为转动中心，位于圆面 积内(roc<R)。设摩擦力系的主向量的大小 为F,对O点的主矩的大小为M。:,单位面积 图1r。:≤R时的摩擦力分布 的正压力为力，滑动摩擦系数为f。则行 Fig.I The distribation of friction(ro) F=∫∫fpdA.cosp=s 5fpcosopedodo rr。ccoso+√R2-r。esin2p pdp -2eospdp 〔-r。ccosop+VR2-reesin2p -4f:aCg/21sip4g-g2 sin2p√1-k2sin2pdp〕 8 64 (2m-1)1!12 1 (2°(1)j(n+1)(2m-1)62"-…〕 心fQ〔1-日2-“〕 (1) 式中Q为总正压力，k=r。:/R(<1) Mor=S sfpdA.p=j sfppidodo 272
月 舌 在工程实际应用 中 ， 常常 会遇到平 面分布摩擦条 件下的平衡 问题 ， 通常采用将力和 力 炬分别考虑的方 法 ， 看 力是 否超过最大滑动摩擦力 ， 力矩是否 超 过 滑 动 摩 擦 力 偶 矩 ， 以此判 断物体是 否平衡 ， 这种方 法在理 论上 是不正确 的 ， 在 实用 上也是不精确 的 。 本文将综合考 虑力系的总体效应 。 因此 ， 物体在将失去平衡时 的运动趋 势 ， 一般情 况 下 ， 既不是平动 ， 也不是转动 ， 而 是平 面运 动 。 预设此时 的瞬时 转动 中心的位置 ， 就 可以找 出摩擦力 的 分布 规律 ， 从而得到相应 的平 衡 条 件 。 摩擦力系的主 向量和 主矩 设物体与 固定平面的 接触 面积为一 圆 ， 半 径为 ， 如图 所 示 。 且正压力 是 均匀 分布 的 ， 压力 中心与 圆心 重 合 。 转动 中心 在 圆面积内的情形 如图 所 示 ， 设 为 转动 中心 ， 位于 圆面 积 内 刀 。 设摩擦 力 系 的主 向量 的大小 为 ， 对 点 的主矩 的 大小为 ， 单位面积 的正压 力为 ， 滑 动摩擦 系 数为 。 则有 弋 图 。 。 生 及时 的摩擦力分布 。王 。 兰 〕 · 甲 印 甲 才 、 ， 成气一 甲 、 · 片 甲 一 ，，一 。 甲 。 “ 甲 侧 一 言 。 甲 访不 弄乳万而毛而 一 了 。 。 “ 〔 － 训 一 白 甲 甲 一 ‘ 了 ‘ 一 “ ‘ 、 布〕 兀 曰， ︸ ， 厂 ， 一 ， 下 石下 一 一 几 一 矛 一 兀 九 ‘ 、 、 土 歹 尸、 ， 一万石 一 扮 … 一 丽六丽不 、 。 行 洲、 了‘、几人 二 “ 一创 〔 ， 。 一 一了 佗 白 一 吕 式 中 为 总 正 压 力 ， 寿 。 。 五了。 二 〕 月 · 〕 甲
.=2fpCjg/2gfr.eosetvRe-7ciagp2ip paasj.c p2de] 言fpCW2{6rios4VR-iie +(R2-ri:sin2p)}dp〕 =号/pR〔gW/2（3:+1)VT-kin do [/24h2sin29V1-R2si2gdp] =2R21+2-… -{'a-2-4…门 ≈号fQR〔1+2-品“门 (2) 1.2转动中心在圆面积外的情形 如图2所示，这时r。>R,故 南=发>1，为此，引人新参量：= fpdA R/r。e(<1)。 仿照上面的方法，亦可分别求出摩擦 力系的主向量和对O点的主矩的大小如 下。 图2r。:>R时的摩擦力分布 Fig.2 The distribution of friction(roc>R) F-SSi pd Acoso =2fgfpco9d r。ccoso+√R2-reesin2p Jr。ccosop-√R2-reesin2p pdp =4fprc0cos2pvV-singde 作变量代换，令sinp=k1sin0=sinoosin, 则 273
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k1cosθd0 dp=√1-sim20 又 9=0时，9=09=90时，0=2，由此可得 Ffo1---…-{0品y+m2-D门 f0〔1-g:-6:〕 (3) Mor=j∫fpp2dpdp -g”ano7ty9 p2dp priJosco() 作与上相同的变量代换，得 M。r=号fpr/2{g:(1-5ina0)V1-si0 +好(1-sin20）2y1-ksin0}a0 1 -号fri[W1-si0a8- rπ/2 sin20v1-kisin20d0 g2-0n0j2产2雨 4时29 de] =子fQr〔号+品好+i28i+…〕 fQr〔1+g好+2〕 (4) {或 ≈fQRC居：+g:+2〕} 1.3转动中心正好在圆面积边界上的情形(k=k1=1) 可直接由积分求得 F-10 (≈0.849fQ) (5) 274
甲 歹了了舔不不「 又 甲 ‘ 时 ， 二 饥 甲 二 甲 。时 ， 了 ， 由此可得 。 ， 〔 ‘ 一 扣 一 护 一 票鼠洲〕 ’ 戈而 了认不丽 几 · 一 一 了。 〔卜 扭 一 爵 〕 。 一 ， · 甲 嵘 。 ，， 甲 甲 了 一 忿 。 甲 。 。 甲 一 亿 户万可不矛而 ，曰 、少了 冬了。 。 罗 。 、 了庵万万丽而 。卜 甲 砂 ‘ 甲 作 与 上相 同的变量代换 ， 得 兀 。 一 一 一 含 · 。 ’ 掩贾 一 ‘ ” ‘ 。 ’ 训 ‘ 一 “ “ ‘ ” 八竹︸ 、件了 尝 一 于一荞不不布丽一 二 生 言 ， 二 ’ 叮 “ 爹 “ 。 ’ 侧 ，二福称 砰 。 “ 。 一 。 ‘ “ 。了 一 “ “ ” “ ” 二 。 扮丁布藏藏 叮，白 ， 乙 产 乞二， 介 二 布畜琢厕 。 〕 ﹃ 才 忿，山 左 ， 八 二 了 。 · ， ， － 日 于 “ 全十 … 〕 十 产 一。、 ‘﹄ 一 ‘ 一 〔“ 扣 十 击 “ ， 〕 一 ， 〔最 十 如 静 ， 〕 转动 中心正好 在 回面积边 界上 的情形 寿二 寿 二 可 直接 由积分求 得 口艺 或 厂 去
和 Moe=8fQR(≈1.13fQR) (6) 9x 1.4转动中心在圆心(=0)或转动中心在无穷远(：=0)的惰形 此即通常的仅有转动趋势或移动趋势的情形，对前者，有 P=0,Mcp=号fQR (7) 对后者，有 F=fQ (8) 2平衡条件及平衡范围 作用于物体上的平面力系（实指作用于物体上的诸力在固定平面上的投影构成的力 系)，一般情况下，总可以合成为一合力P,设其大小为P,中心c到其作用线的垂直距 离为d。 2.1P<30的情形 按式(1)和(2)，物体的平衡条件为 p<fQ〔1-是2-门 (9) p(d+r:K8j0R[1+6- (10) 2.2P>3品0的情形 按式(3)和(4)，物体的平衡条件为 P≤10〔1-君好-是门 (11) P(d+re)≤fQre〔1+骨好+92i〕 (12) 2.3P=F0的情形 按式(6)，物体的平衡条件为 P(d+R)5QR (13) 2.4d=0或P=0的情形 d=0时，按式(8)，物体的平衡条件为 P≤fQ (14) 275
。 八 。 ， ， 。 ， 一 、 止‘ ， 不二二 叼 打 碍 刁 习 。 石 扰 。 转动 中心在 圆心 或转动 中心在无穷 远 的情形 此 即通 常的 仅有转动趋 势或移动趋势的 情形 ， 对前者 ， 有 ， 。 粤 尸 对后者 ， 有 尸 二 平衡条件及平衡范 围 作用 于物体上 的平 面 力系 实 指作用 于物体上的诸 力 在 固定平 面上 的 投 影构 成的力 系 ， 一般情况 下 ， 总可以合 成为 一 合力尸 ， 设其大小为 ， 中心 到 其作用 线 的垂 直距 离为 。 李 的情 形 兀 按式 和 ， 物体的平 衡 条 件为 ，、产， 、产夕一、，， 、沪 、 、 、了 、 ‘ 、 声‘， 妇勺乙 二产、，土占 了 ‘、了、 了‘、 毛气 、 。 ， ， 。 ， 厂 ， ， 。 ， ， 、 厂 、 叼 纪 狡 土 一 落 “ ‘ 一 丽 纪 ’ 夕 一 ， ， 、 ， 。 。 厂 ‘ ， 。 ， ， 、 厂 、 十 厂 二 夕浪 了 叼九 七生 十 万十 一 丽 尺 ” ， ， 募 “ 的情形 按式 和 ， 物体的平 衡 条 件为 、 了。 〔卜 音卜 瓷 “ 〕 尸 · 。 。 、 了 · 。 。 〔 会 ， 击 “ ， 〕 年‘ 矗 “ 的情形 按式 ， 物体的平 衡条件为 ， ， 。 、 一 ， 。 。 ’ 气 十 代 少 、 叭 甘兀 或 二 的情形 。时 ， 按式 ， 物体的平衡条件为 《