对数正态克立格法理论及其应用

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1989.05.017 北京科技大学学报 第11卷第5脚 Vol.11 No.5 1989年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1989 对数正态克立格法理论及其应用 侯景儒 黄竞先 (北京科技大学地质系) (中国有色总公司北京地质研究所) 张树泉 (北京科技大学地质系) 摘要：本文首先讨论了对数正态分布及三参数对数正态分布理论，然后重点研究了 对数正态克立格法。在分析了无偏条件及最小估计方差之后，给出了对数正态克立格法方程 组及对数克立格方差。克立格权系数入。即为该方程组的解，据此，可以估计矿床中每一块段的 克立格估值乙：，该估值是具最小估计方差的无偏线性估计量。该法已用下一个铁铜矿宋的 储量计算。 关键词：地质统计学，克立格法，对数正态分布，变异函数，最小估计方差，无偏 估计量 Theory of Lognormal Kriging and Its Application in Ore Reserve Estimation Hou Jingru Huang Jingxian Zhang Shuquan ABSTRACT:A theoretical study of the lognormal distribution and the three- paramelers lognormal distribution are presented.The emphasis is on the study of lognormal kriging.The lognormal kriging systems and logarithmic kriging variance are established after non-bias condition and minimum estimation variance are studied.The kriging weights A are solutions to the kriging systems.The kri- ging estimator Z of each block of a deposit can be estimated.Kriging estimator is the unbiased linear estimator with minimum estimation variance.The method is illustrated application to ore reserve estimation of a iron-copper deposit. KEY WORDS:geostatistics,kriging,lognormal distribution,variogram,mini- mum estimation variance,unbiased estimator 1988-12-23收稿 391

北 京 科 ‘ 第 卷第 期 年 月 技 大 学 学 报 丁 。 对数正态克立格法理论及其应用 侯 景 儒 二 ‘大仁 宝匕 月一 早乏 歹乙 石 北京 科技大学地 质系 中国有色总公 司 北 京地 质研究所 、 张 树 泉 北 京科技大学地 质系 摘 要 本文首 先讨论 了对数正态 分布及 三参数对数正 态分布理论 ， 然 后重 点研究 了 对数 正态克立格法 。 在分析了无 偏条件及最 小估计方差之后 ，给 出了对数 正态克 立 格 法 方程 组及对数 克立格 方差 。 克立格 权 系数 入 。 即 为 该 方程组 的解 。 据 此 ， 可以估 计矿 床 中每一 块 段 的 克立格 估值 二 ，该 估 值是 具最小 估计方差 的 无 偏线性 估计量 。 该法 已 用于一 个铁 铜 矿 床 的 储量 计算 。 关 键词 地 质统 计 学 ， 克立 格 法 ， 对数 正 态 分布 ， 变 异 函 数 ， 最 小 估 计 方差 ， 无 偏 估 计量 、 、 “ ” 扎 ” 拄 叙 一 ， · 入 。 夕 粤 。 。 血 一 ， ， ， ， ， 户 气 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．05．017

应用任何一种数学地质方法研究某地质变景的属性或其空间分布规律时，首先应研究该 地质变量的统计分布律，正态分布及对数正态分布是研究地质变量时经常遇到的分布类型。 本文将详细研究当地质变量呈对数正态分布时，应用线性地质统计学估计矿床（或矿块）的 平均品位及矿石储量的理论及方法。普通克立格法，泛克立格法等地质统计学方法已经成功 地应用于地质科研、找矿勘探、采矿设计及矿山地质等领域，并已开始应用于环境科学、遥 感地质、工程地质及水文地质等方面(，】。 当区域化变量（如矿床品位值）服从对数正态分布时，根据地质勘探及矿矿山设计的需 要，在应用地质统计学研究时需要解决以下两个问题：第一要估计整个床的平均品位及矿 石储量，即所谓总体佔计：第二要估【0床中·个块段的平均品位及石储最，即所谓局部 估计，这就是本文研究的上要内容一对数正态克立格法。 1几个基本问题的讨论 1,1对数正态守恒假设 Dowd P,A,(1982)研究指出：当样品值呈对数正态分布时，其样品值的平均值（例如 块段平均值)也呈对数正态分布，而且它们的联合分布也保持对数正态分布。但是，对数正 态变量的线性组合不符合对数正态分布【5】。 1.2正态分布与对数正态分布的关系 设定义于支撑v。(=1,2,,n)上的区域化变量×。呈对数正态分布，且期望值为 Z,方差为C(v。,v),即E{x。}=Z,D2(x。}=C(v。'v),则y=ln(x)呈正态分 布，若期望值为Z.,方差为C.(v。,va),即E{In(×。)}=Z.,D2{ln(x。）}=C。(u。, v。),这时，正态分布与对数正态分布之间存在如下关系式： Z=e7。+2c。("a'"g) (1) C(w。,v)=Z2.(e。g"o)-1) (2) 当定义于相同支撑v。,v。(C,B=1,2,·,n)的区域化变量值x。,x是联合对数正态分布， 且期望值为Z、协方差为C(v,v)时，则ln(x,)与1n(×)是联合正态分布，其协方差为 C,(v,v),这时，有如下关系式： C(v,y)=Z2(c.ew)-1) (3) (1)、(2)、(3)式称为正态分布及对数正态分布的3个基本关系式。 1.3三参数对数正态分布 许多金属矿床的品位值及元茶的地球化学观测值不服从上述的对数正态分布，它们在对 数坐标纸上呈现出程度不同的偏差。为了消除山此而产生的差，在对原始数据x。进行预 处理时，不是用上述的ln(x。)来代替x,而是用y=ln(x。+a)(其中的a为第三参数)代 392

应 用 任何 一种数 学 地 质方 法研究 某地 质变 录的属性 或 共 空间分布 规律时 ， 首先应研究该 地 质变量 的统 计 分布律 ， 正 态分布 及 对数 正 态 分布 是研究 地 质变 量 时 经常遇 到 的分布类 型 。 本文将详 细研究 当地质变量 呈对数正 态 分布时 ， 应用线性 地 质统 计学 估 计矿床 或矿块 的 平 均品 位及矿石储量 的理论 及方 法 。 普通克立格 法 ， 泛克立 格 法 等地 质统 计学 方法 已 经 成功 地应用于 地质科研 、 找 矿勘探 、 采矿 设计及矿 山地 质等领域 ， 并已开始应用 于环境科学 、 遥 感地质 、 工程地质及水 文地质等方面 〔 ” “ ’ 。 当区 域化变量 如 矿床 品 位值 服从 对数正 态 分布时 ， 根 据地质勘探 及矿 山 设 计 的需 要 ， 在应用 地质统 计学 研究 时 需要 解 决 以 下两个问题 第一要 估 计整个矿床 的平均 品位及矿 石储 量 ， 即所谓 总体估 计 第 二 要 估 计叮 ‘ 床 ，手 ， 一 个 块段 的平 均品 位及 矿石储量 ， 即所谓局部 估计 ， 这 就是 本文研究 的 要 内容－ 对数 正 态克 立格 法 。 几个基本问题 的 讨论 对橄正 态 守恒 假 设 研究指 出 当样品值 呈对数正 态 分布时 ， 其 样品值 的平 均值 例如 块段平 均值 也 呈对数 正 态 分布 ， 而 且它们 的联 合 分布也保 持 对数 正 态分布 。 但是 ， 对数正 态变量 的线性组合 不符合对数正 态分布 〔 ’ 。 正 态 分布 与对效正 态 分布的 关系 设定义于 支撑。 。 。 二 ， ， … ， 上 的 区域化变 量 。 呈对数 正 态 分布 ， 且 期 望 值 为 ， 方差为 。 ， 。 。 ， 即 。 ， 。 。 ， 。 ， 则 夕 呈正 态 分 布 ， 若期望值 为 ， 方差 为 。 。 ， 。 ， 即 。 。 ， 。 。 。 ， ， 口 ， 这 时 ， 正 态 分布与对数正 态 分布之 间存 在如 下关 系式 谁 一 砚 。 。 ， · ，， 口 ， 。 二 · 。 ” ” ’ 一 当定 义于 相 同 支撑。 。 ， 。 ， 。 ， 口二 ， ， 一 ， 的 区域化变量值 。 ， 二 ， 是联 合 对数 正 态 分布 ， 且 期望值 为 、 协方 差 为 ， ， · ， 则 二 。 与 。 呈 联 合 正 态 分布 ， 其协 方 差 为 叭 ， 。 ， ， 这 时 ， 有如 下 关系式 口 。 ， ， 。 ” 。 ， ， 一 、 、 式称 为 正 态 分布 及对数 正 态 分 布的 个 华 本 关 系式 。 三 今橄对 数正 态分布 许多 金属 矿床 的品 位值 及 元 素的 地球化学 观测 值 不服从 述 的对数正 态 分布 ， 它 们 在对 数 坐标纸 上 呈现 出程 度 不 同的偏 趁 。 为了消除 山此 而 产 生 的 议 差 ， 在 对原 始 数 据 口 进 行预 处 理时 ， 不是 用 上 述的 。 来 代替 。 ， 而 是 用 夕 。 。 其 中 的 为第三 参 数 代

替x,使区域化变量呈现正态分布，这种分布类型即所谓三参数对数正态分布（」。 设Z!是ln(x。+a)的平均值，σ2是1n(x。+a)的方差，则三参数对数正态分布的算术平 均值是： Z=cxpC2+号y-a 其众数是： Z=exptZ?-g2]-a (4) 几何平均值是： Z6=e20-0 2对数正态克立格法 假设床D的样品值及块段品位值均服从对数正态分布，其平均品位为Z，又设D中某待 估块段为V,平均品位为Zv,估计量为Z:,则1nZ:可表为n个已知数据ln(x.)的线性组合 Inet=c+ 元aln(x.) (5) e-l 式中C,入为待定系数，x.是定义于信息支撑".(a=1,2,…,n)的n个信息值。问题是要求出 (5)式中的n个权系数(c=1,2,…n)能保证估计量无偏，且估计方差为最小。12] 2.1无偏性条件 当且仅当满足 =1 (6) a=1 (7) 时，Z才是Z,的无偏估计量。 2.2估计方差最小条件 估计方差可表示如下： D2CInZy -InZy]=D2CInZ]+DiCInZy]-2covCInZyInZy] (8) 在满足无偏性条件下的估计方差公式是： Dc2-l2)=c(,n-22c.）-e.c,n(9) 8■1 393

替 。 ， 使 区域 化变量呈 现正 态 分布 ， 这 种 分布 类型 即所谓三参数 对数正 态 分布 帅 〕 。 设 匕是 。 。 的平 均值 ， “ 是 二 。 。 的方 差 ， 则三参数 对数正 态 分布 的算 术平 均值是 。 乙 ’ ， ， 眨乙 。 是一十 一二 口 一 口 一 。 其众数是 孟二 〔 省一 二 〕 一 几何平 均值是 占 一 对数正态克立格法 假设矿床 的样品值 及块段品位值 均服从对数正 态 分布 ， 其平 均品 位 为 ， 又设 中某待 估块段 为 犷 ， 平 均品位为 丫 ， 估计量 为 牛 ， 则 牛可表 为 ” 个 已知数 据 。 的线 性 组合 ‘ 芝 ‘ · ， 。 ， 式 中 ， 凡 。 为待定系数 ， 气是 定义于 信息 支撑 。 。 二 ， ， 一 ， 川 的 。 个 信息值 。 问题是要 求 出 式中的 个 权系数几 。 ， ， 一 能保证估 计量 无偏 ， 且估 计方差 为 最 小 。 〔 ” “ ， 。 无 偏 性条件 当且 仅当满足 芝 “ 。 二 合 只 · 瓦‘ 。 一 ，一 合区 芝 “ · ‘ 口 夕巴 瓦 一 时 ， 孚才是 的无偏估计量 。 。 估 计方 差最 小条件 估计方差 可表示如下 〔 票一 〕 〔 票〕 “ 〔 〕 一 〔 寻 ， 〕 在满足 无偏性 条件下的估计方差公式 是 〔 ， 一 ， 、 〕 瓦 犷 ， 一 芝 艺 ‘ 。 ‘ ，瓦 。 。 ， 。 ，卜 芝 几万 ，， ， 犷 ， 口一

式（9)C.(,)代表矢量h的两个端点分别在样品.及rg内的所行对点的平均对数协方 差，C.(c.,V)是欠量h的两个端点分别在样品，和待估域”内的所有对点的平均对数协方 差。要求(5)式中诸权系数2，并使(9)式在无偏条件下达到极小，应解下列对数正态克立 格方程组： 1C.0-a-C. B-1 1 (10) (a=1.2,…,n) 其矩阵形式是：〔k.〔2)=〔M2. (11) 〔)=〔k.〕-1〔M2.) (12) 应当指出，只有当协方差矩阵〔C.(','"〕严格正定，行列式严格大于0时，(10)式才有唯一 解，所以必须要求所有的点协方差模型C.(h)是正定的，H一个数据支撑不与另一个支撑完 全重合【门。 从(10)式可知，对数正态克立格方程组1只取决于C,(h)或r。(h),以及信息域，及待估 域V的相对几何特征。求解方程组(10)式后，得n个权系数1.(a=1,2,…,n),据(7)及 (10)式可得到C的简化式： C=112{.cc.)-C.1-r} (13) 据(5)式可得到Z,的无偏最优线性估计量Z: Z8=e品.11a(x,）+C.门-c12)C.,)+112m} (14) ZY也可以根据lnZ值及估i计该值的样品数n和什：i讣方差r.值利用Sichel II.S.给出的佔计 因子表由式(15)求得： Z:=e1.21 (15) 式中lnZ是对数正态克立格法估计的对数克立格佔值。 lnZ:=(1'n) In(x.) (16) (o,)=〔1+ gagD (n-1)2 +2.31(n+10(m+3)8+… (17) 394

式 「卜 ’ 。 ， ， · 。 代 表 欠量 的 两 个端 点 分别 在样 异 ‘ ’ 。 及 了 ’ ， 内的所 了对 点的平 均对 数 协方 差 ， 。 。 ， 厂 是 矢 量 的 两个端 点 分别 在样品 ‘ ，。 和 待估 域 犷 内的所 有对 点 的平 均 对 数协 方 差 。 要 求 式 中诸权系 数 之 。 ， 并 使 式 在无 偏条件 下达 到 极 小 ， 应 解 下列对 数 正 态克 立 格 方程组 口 芝 只厂 。 ， 一 ，、 ，一 。 二 互 ‘ 厂一 厂 ， 二 ， … ， 。 成 川 · 拟芝 其矩 阵形 式是 〔 。 以 〕 二 〔 〕 一 ’ 〔 。 〕 应 当指出 ， 只有 当协 方差矩 阵〔 。 和 。 ， ，， 〕严格正 定 ， 行列 式严格 大于 。 时 ， 式 才有唯一 解 ， 所 以必须要 求所有 的点协 方 差模型 。 是 正 定 的 ， 一个 数 据支撑 不与另一 个 支掉完 全重合 ‘ 。 从 式可 知 ， 对 数 正 态克立格 方 程 组 只 取 决于 。 或 。 ， 以及 信息 域 。 。 及待估 域 犷的相对几何特 征 。 求解方 程组 式后 ， 可 得 ” 个 权 系 数 之 。 二 ， ， … ， 。 ， 据 及 式可 得到 的简化 式 叉 只 。 〔 瓦 ，。 ， ， 。 卜 瓦‘ 一 卜 ，‘ 据 式可得到 ， 的无偏 最 优 线性估计量 零 里 ， 。 〔 。 一二 一 · 口 ， ，。 〕 一 〔 一 。 ，。 ， 犷 川 ，‘ 〕 护二 “ 导也可 以 根据 零值 及估 计该值 的样 品数 和估 计方 差 。 值利 用 曰 给 出的 估 计 因子表 由式 求得 卜 。 ’ “ 之，… ‘兀 式 中 份是 对数 正 态 克立格 法 估 计的对 数克立 格估值 。 · 二 ， 芝 之 。 ，· 。 又 ， 〔 ‘ 一 奋 口 ， 一 一 了 仓 ‘ 八 一 几 巳 …

式(15)中的yn(σ)依赖于估计邻域内的样品数n及方差o。1nZ:的对数正态克立格方差 o,是： c.-C.(,)- .C.(,)+4 (18) 估值Z的克立格方差σ量是： 7=之2。，r),.三，入nc。（ea,ty。.,2acra tea-l -2e1 (19) o也可根据c量.利用Siche1H.S.表求出估计精度的上下限表示之。 当所研究的区域化变量在估计邻域内存在有漂移时，可用对数正态泛克立格法进行估 计，求lnZ:的对数正态泛克立格方程组如下： 1b=C.(P) 8-1 i.6 (g=1,2,,7, (20) (1=0,1,…k) (20)式中6。=(1。)J、.(x)dx是信息域的多r.项式函数，6=(1/∫.(x)dx是 待估域V的多项式函数。其对数正态泛克立格方差为： a.=C.(,)+ -” (21) 1a0 求解式(20)得到n个权系数，据(13)式及(14)式或据(15)式求出在泛性条件下块段 V的最优无偏线性估计量Z:。 当需要估计块段V的漂移值时（这在地质研究及物化探数据处理时是必要的），可 解下列对数泛克立格方程组求权系数值p(B=1,2,·,n): (a=1,2,…,n) 1-0 (22) ∑p.6.=6 求解(22)式得到n个权系数p(B=1,2,…,n),用(13)式及(14)式或(15)式求出在 泛性条件下块段V的漂移值，的最优无偏线性估值m:。其对数正态泛克立格方差为： (23) 395

式 中的， 武 依 赖于 估 计邻域 内的样品数 及 方差 此 。 李的对数正 态克 立 格 方差 叮 是 。 是 、 。 二 瓦 犷 ， 。 一 芝 几万 之。 ， 。 “ 口 七 估值 粤的克立格 方差吐是 ，土 ﹃乏 口 。 厂 ‘ · 〔 下· ， ，· 又二 。 、 一 、 … ‘一 。 里 、 ’二 “ ” · ’ ‘” 〕 。 是也可 根据 盖 。 利 用 表 求 出估计精 度的上下 限表示之 。 当所研究 的 区域 化变 量 在估计 邻 域 内存 在有漂移 时 ， 可用 对 数正 态 泛克立 格 法 进 行估 计 ， 求 君的对 数正 态泛克 立格 方程组 如下 叉 只，瓦 ，。 ， 艺，刀 卜 芝 ，之 乙 二 瓦‘ … ， 刀竺 叉 元 二 “ 。 二 阮 仪 ， ， … ， ， 二 ， ， … ‘ ， 式 中“ 。 · “ 了 夕· ， 、 。 了 · · ， · 是 信 · 息域 的 多 · 项式 函数 ， “ 杏 “ ‘ 厂 ， 厂 · · ， · 是 叔、 待 估域 犷的多项式 函数 。 其对数正 态 泛克 立格 方差为 · 。 · 瓦 ， ， 芝 。 “ 寻一 叉 又 · 瓦 ，· ， 犷， 二 二 求解式 得到 ” 个权 系数 ， 据 式及 式或 据 式 求 出在泛性条件下 块段 犷的最 优无偏 线性估 计量 寻 。 当需要 估 计块段 犷的漂移值 。 子时 这 在地 质研究 及 物化探数 据处理 时是 必 要 的 ， 可 解下 列对数 泛克立格 方程 组 求权 系数值 ， 刀二 ， ， … ， ， 户， 。 ，。 ， ，刀 一 芝 。 “ 。 。 。 ， ， 一 。 一 。 县 。 · 阳习乙 · 。 求解 式得到 ” 个 权 系 数户， 刀二 ， ， … ， 。 ， 用 泛性条件 下块段 犷的漂移值 级 、 · 的最 优 无偏 线性估值 式及 式或 式求 出在 。 牛 。 其 对 数正态 泛克立格 方差 为 。 二 区 。 工