数量级分析和相似原理在导热中的应用

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1990.01.021 北京科技大学学报 第12卷第4期 Vol.12 No.4 1990年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ju1y1990 数量级分析和相似原理在导热中的应用 丁玉龙 摘要：运用数量级分折和相似原理对第一类边界条件下不稳态导热向随进行了求解， 并从5个方面分析了热层与边界层的类似性。提出了导热雷诺数、阻热系数及层态和素态导 热的概念，说明∫导热出诺数的物理意义，导出了阻热系数与导热雷诺数的关系，分析了层 态和素态导热的持点。 关键词：子热，热以，边界丛，相似 Application of Order of Magnitude Analysis and Theory of Analogy in Heat Conduction and Analysis Ding Yulong· ABSTRACT:Onc dimensional unsteady problem with 1st hind of boundary condition was solved by using the order of magnitude analysis and theory of analogy.The similarity of heat layer to boundary layer was analysed from five aspects. KEY WORDS:heat conduction,heat layer,boundary layer,similarity 数量级分析及相似原理任对流换热中应用得非常广泛(：？，但在导热中的应用却不为 人们所关心。有关导热与对流及流体流动中的某些明显的类似性也常常被人忽略。本文应川 数量级的比较及相似原理对第一类边界条件下的导热问题进行分析求解，剖析热层与边界层 的类似性。 1989-0d-03收 ·冶金系(Department of Metallurgy) 326

第 卷第 期 年 了 月 北 京 科 技 大 学 学 报 沪沪 、 一不一 、 · 数量 级分析和 相似原理在导热中的应用 丁 玉 龙 尹声 摘 要 运 川 效 量级 分 析和 相似原理 对 第 一 类边 界 条件下 不忿 态导热 问题 进 行 厂求解 ， 井从 个 方 面 分 析 了热 层 与边 界 层的类 似性 。 提 出 导 热雷 诺数 、 阻 热 系数 及 层 态 和 紊态 导 热 的 概 念 ， 说明 了导 热雷 诺 数 的 物理 意 义 ， 导 出 了阻 热 系 效与导 热雷 诺数 的 关 系 ， 分析 了层 态 和 紊 态 导热 的特 点 。 关 健 词 钵热 ， 热 层 ， 边 界 层 ， 相 似 创口 夕 、 了 认 一 、 记 一 少 、 、 丁 一 手 介 · 一 少 一 少 · 少 、、 少 ’ 、 ， 一 一， 少 ， 一 、 少 ， 少 ， ‘一 · 数 量级 分析 及 相 眼原理 在对 流 换热 ，卜应 用得非 常广 泛 〔 ‘ ” 〕 ， 但 在导热 中的应用 却 不 为 人 们 所 关心 。 有 关 导热 与对 流 及 流体流 动 中的 某些 明显 的 类似性 也常 常被人忽 略 。 本 文应 用 数 量级 的 比较 及 相似原 理 对 第一 类边 界条件下的 导热 问题 进 行分析 求 解 ， 音 析热 层 与边界层 的 类似性 。 一 一 收 稿 冶 金系 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．04．021

1数量级分析及相似原理在导热中的应用 考虑第一类边界条件下一维半无限体的导热问题，如图1。假设半无限体的初温为T。, 在时间下=0时刻，裘面升为T1,则此问题的数学描述为： 0T?=c02Tdx2(0≤x<+∞，0≤T<+∞) T=0,T=T。(0≤x<+c∞) (1) t>0,x=0,T=T1,x-→+∞，T=T。 问题(1)的解为： (T-T)T。-T)=crf() (2) 其中71=x2√āx,crf()为误差函数，这早已被人们所究过，3)。求解的方法可以用分 离变量法(3)，格林凶数法3)等，这些方法大都很复杂，一般的教科书上1，？，只是简单 地假设一个变量)=x2、a对问题(1)进行变换求解，但没有说明得到变量？=x/2√ax的 由来，这个变量可用数量级分析！都似原理来求得。 T T>0 T=0 "=T Txeo-T T(x,T,) T(x,)儿 TT-0 0 8r( δ，2x. 图2不同时刻温度分布图 图1半无限大的水意图 Fig.1 Schemc of half infinite body Fig.2 Distribution of temperature in different time 1.1温度分布相似性的分析 图2是不同时刻的温度分布。不尖一般性，分析T1利1t2时刻温度分布的特点。T1和T2 时刻的温度分布分别为AB和AC。在t1时刻，温度由T1(A点)随x的增加而变化到T。(B 点)，在t时刻，温度由T1(A点)随x的增加变化到T。(C点)，这可能具有某种相似 性。若取任一位置x处，此处时刻的温度为T(x,T),T:时刻的温度为T(x,2),(如 图上所标)，显然〔T(x,1)-T)/(T。-T)〔T(x,2)-T1/(T。-T),即上述的 相似性不可能是绝对量的相似性。从图2中也可看出T:时刻的曲线AB短粗，T2时刻的曲 线AC瘦长。但如将位置x改为相对位置x/6,()(ò(t)为t时刻的热层厚度，即·时刻边界 上温度扰动所扩散的厚度)，则可能有下式成立： {TCx/δ.(T),T1]-T1}/(T。-T)={T〔x/6,(t2),t2〕-T1}(T。-T) (3) 式(3)就意味着相似关系的存在，“下面就证明这一相似关系。 327

‘ 数量级分析 及相似原理在 导热 中的 应用 考 虑 第一 类边界 条件下一 维 半无限 体 的 导热 问题 ， 如 图 。 假设 半无 限体 的初温 为 。 ， 在时间 二 时 刻 ， 表 面升为 ， 则此 问题的数 学描述 为 厂 乙丁 。 口“ 」 二 “ 镇 ， 簇 丁 、 丁 ， 义 了 ， 了 。 毛 工 ， ， 工 ， 二 。 问题 的解为 一 ， ， ’ 厂 。 一 二 其 中 ，， 二 厂 侧 。 ， 。 为 误 差函数 ， 这早 已被 人 们 研 究过 〔 ’ 〕 。 求解 的 方法可 以用分 离 变量法 〔 “ 〕 ， 格林 函数 法 〔 “ 〕 等 ， 这些 方法大 都 很复 杂 ， 一般 的 教科 书上 〔 ‘ ’ 〕 ， 只是 简 单 地假设 一 个变 量 刀 州 ’ 、 对 问题 进 行变换 求 解 ， 但 没 有说 明得到 变 量 刃 到 侧云了 的 由来 ， 这个 变 量可 用 数 虽级分析 和 相似原 理 来求 得 。 丁 几 留 几 “ 毛 ‘ 蔺万芍 丁一 上 一公 ︸ 以 ， 几 丁 ， 下 几 ， 图 半 无 长大 物 沐 示意 图 主 五 图 不 同 时刻 温度分 布 图 。 温 度分布 相似 性 的分 析 图 是不 同时刻 的温 度分 布 。 不 失一 般性 ， 分 析 ， ，和 二 时刻温度分 布的特 点 。 二 ， 和 ， 时刻 的温 度分 布分 别为 和豆 。 在二 ，时 刻 ， 温 度 由 ， 注 点 随 二 的 增加 而 变 化 到 。 点 ， 在 ， 时刻 ， 温 度 由 工 点 随二 的增 加 变化 到 。 点 ， 这可 能 具有某种 相 似 性 。 若 取任一位置 处 ， 此处 ， 时刻的温 度为 ， 丁 ， ， 。 时刻的 温度为 ， 丁 ， 如 图上所 标 ， 显 然 〔 二 ， 丁 一 〕 。 一 工 斗 〔 ， 一 〕 。 一 ， 即上述 的 相 似性不可 能是绝 对 量 的 相 似性 。 从 图 中也可 看 出二 ， 时刻的 曲线 短粗 ， 时 刻 的 曲 线 瘦长 。 但如将 位置 二 改 为 相对 位置 二 二 幼 为 二 时刻 的热 层厚度 ， 即 二 时 刻边界 上温度 扰动所 扩散 的厚度 ， 则可 能有 下 式成 立 笼 〔 占 丁 ， ， 丁 〕 一 ， 。 一 ’ 〔 丫 ， 下 〕 一 ， 。 一 式 就意味着相 似关 系的存 在 ， 一厂面就证 明这一 相 似关 系

1.2用数置级的比较及数学查换证明上述相似性的存在 前面已经分析了温度用(T-T)(T。~T)表示。坐标以x/ò，()表示，则不同时刻 温度分布有可能相似。现假如是相似的，则必然可以用变换的方法将问题(1)变换成只含有 一个变量的常微分方程，而且初始条件和边界条件也必须变换成只有一个变量的情形。下面 首先用数量级分析方法求出6，()的量级，再作相似性的证明。 (1)d.()的量级分析。由于时间T是由0变到下，x由0变到δ，()，T由T。变到T1, 所以由1)式可得： (T1-To)/x~a(T1-T。)/d(t) 所以，6(t)~VaT (4) 即有d,(r)是√ax量级。 (2)相似性证明，因为δ，()~√at,所以不妨取相对量为x/√ax,且用7表示，即 n=x√at。另外，令(T-T)(T。-T)=9,用6和n对(1)式进行变换可得： d20/dn2+(1/2)nd8/dn=0 (5) 显然此方程是含一个变量的常微分方程。再看边界条件和初始条件：由(1)可知，当下=0和 T>0,x→+∞时，T都为T。,而r=0和x→+∞对应于7+∞，所以问题(1)通过变换后， 初始条件和一个边界条件合并成一条件，即→∞，8=1多另一个条件为x>0,x=0,T=T1, 这对应于→0，日=0，显然定解条件也只有一个变量。由此可知，温度分布是相似的。 式(5)在定解条件下的解为： 0=erf(n/2) (6) 这与(2)式完全相同。 2热层与边界层的类似性副析 2,1热层与边界层的发展的类似性 图3（α）是速度为“、温度为T.的粘性流体流过纵掠温度为T,的平壁时的温度边界层和 速度边界层。图中，δu(x)和6(x)分别是速度边界层和温度边界层的厚度。图3(b)为第一类 边界条件下半尤限体不稳态导热中的热层，因为d.(x)是√t量级，所以才能有图3(b)的曲 线)。显然，图3(a)和图3(b)非常类似，只不过是du(x)、0r(x)是x的函数，而6，()是时 间T的函数。 2,2层内输运量分布曲线的类似性 速度边界层内输运的量是动量，代表量为速度“，温度边界层内输运量为能量，代表量 是温度T,热层内输运量也是能量，其代表量也是温度T,如图4中(a)、(b)、(c)分别为各 自输运量的代表量的分布，图中的符号同前。图4表明，输运量的分布曲线非常类似。 328

用数 级 的比较 及数学变换证 明上述相似 性的存在 前 面 已经 分析 了温 度 用 一 ， ，‘ 。 一 表示 。 坐 标 以 厂 ， 表 示 ， 则不 同时刻 温 度 分 布有可 能 相似 。 现假 如是 相似的 ， 则 必 然可 以用 变换的 方法将 问题 变 换成 只含有 一 个 变 量 的常 微分方程 ， 而且初 始条件和边界条件 也必须变换成 只 有一 个 变 量的 情形 。 下 面 首先用数 量级 分析方法 求出 钓 的量 级 ， 再作相似性 的 证 明 。 ， 哟 的 量级分析 。 由于 时 间 ， 是 由 。 变到 二 ， 由 。 变到占 ， 幼 ， 由 。 变到 ，， 所 以 由 式可 得 一 。 了 一 · ， 一 。 子 碑声碑 所 以 ， 二 一 训 即有 ， 劝 是 训 丁 量级 。 相似性 证 明 ， 因 为 二 一 训叮 ， 所 以不妨 取 相对 量 为 刃 训 砰 。 另外 ， 令 一 ， 。 一 工 ， 用 和 ，对 ， 闷 声 训 ， 且 用，表 示 ， 即 式进 行 变换 可 得 “ 刃 刀 刀 显 然此 方程是 含一 个变 量的常微 分方程 。 再看边 界条件和初始条件 由 可 知 ， 当， 二 和 ‘ 。 ， ” 时 ， 都为 。 ， 而‘ 二 。 和 ‘ 十 对 应于 ，” ， 所 以问题 通 过变 换后 ， 初始条件和一 个边界条件合并成 一 条件 ， 即刃” ， 另一 个条件为‘ ， 。 ， ， ， 这对 应于 ， 。 ， ， 显 然定解 条件也 只有一 个 变 量 。 由此可 知 ， 温 度分 布是相似的 。 式 在定 解条件下 的 解为 口 甲 这 与 式完全相 同 。 热层与 边界层的 类似性剖析 热 层与 边 界 层 的发展 的类似 性 图 。 是速度为 “ 、 温 度为 的 枯性流体 流过 纵 掠温 度为 的平壁 时 的温 度 边 界层和 速度 边界层 。 图中 ， 二 和 分别 是 速度 边 界层 和温 度边 界层 的厚度 。 图 为 第一 类 边界条件 下 半无限体不 稳态 导热 中的 热层 ， 因为 动 是 认 “ 量级 ， 所 以 才能 有 图 的曲 线 。 显 然 ， 图 和 图 非常类似 ， 只不 过是 ‘ 、 是 的函数 ， 而 占 是 时 间 丁 的 函 数 。 层 内输运 分布 曲线 的类似 性 速度 边界 层 内输运 的 量 是动 量 ， 代 表 量 为 速度 。 ， 温度边界层 内输运 量 为 能量 ， 代 表量 是温 度 ， 热 层 内输运 量也 是 能 量 ， 其 代 表量也是温 度 ， 如 图 中 、 、 分 别 为 齐 自输 运 量的代 表 量的分 布 ， 图中的符号同前 。 图 表 明 ， 输运 量的分 布曲线 非常类似

2.3求解问题方法上的类似性 在求解速度边界层内速度分布时，B1asus1通过数量级比较及相似原理，引入了相似 变量)u=(1/2)y√u/vx,对边界层内动量微分方程进行了求解。其后Pohihausen也用同样 的方法引入相似变量”，=(1/2)y√4/vx求解了边界层内能量微分方程。本文中的第一部 分也是用同样的方法，引入了相似变量”=￥/√αx对一维半无限体在第-一类边界条件下的 C) 6x) (a) 8.(x 6) -X TH<Too 8() (b) (c) 图3热层与边界层的发展图 图4输运量代表的分布图 Fig.3 Developcment of heat and boun- Fig.4 Distribution of the transporting dary layer quantity 导热问题进行了求解。显然，在求解方法存在着类似性。 2.4问题解的类似性 流体纵掠平板时，速度边界层厚度为： 6.(x)/x=5.0/VRex (7) 阻力系数为： C=tn(x)/-】 u? (8) 对半无限大物体在第一类边界条件下的导热问题的解也可写出与上面类似的结果。 由式(6)可知：当7/2=x/2Vat≈2时，8≈1，此即T≈T。,而当n/2>2时可以 认为温度没有变化，所以满足m/2=x/2√a下的x就是热层厚度，即有d.()/2√aT=2,所 以，6.(r)=4√aT,或写成： 6.(x)/x=4.0/(xat) (9) 要是定义一个导热雷诺数Rep, Rep,=x2/at (10) 则(9)式可写成： 329

。 求解 问题方 法上 的类似 性 在求 解速度 边界层 内速度分 布时 ， 〔 ‘ 〕 通过数 量级 比较 及 相 似原 理 ， 引 人 了 相 做 变量， 。 二 夕 训。 ” 二 ， 对边界层 内动量微分 方程 进 行 了求 解 。 其后 也用 同徉 的 方法引人相 似 变 量 刀 ， 二 侧 “ 。 二 求 解了边界 层 内能 量微 分 方程 。 本 文 中的 第一 部 分也是 用 同样的 方法 ， 引 入 了 相 似变 量 刀 了 。 ‘ 对一 维 半无限体 在第一 类边 界 条件 下 内 少 劝 黔 一 八、 、 。 巴巡 典竺斌 ’ 厂 一 。 一 赎升乓 凡－ · 义 八冲尸一 、白︻尸 丫门尸西﹄ 卜乙︸沪伙‘ 门川引小划日 一 ，一 。 、 肠丁一一二 汾﹄少 。工 协一︸ 图 热 层与边 界 层的发 展 图 图 输运量代表 的分 布图 。 众 导热 问题进行 了求解 。 显然 ， 在求解 方法存 在着类似性 。 问题解 的类似 性 流体纵掠平板 时 ， 速度边界层厚 度为 二 二 。 侧 二 阻 力系数 为 。 ， 、 ， 七 二 不 ， 气“ 夕 一 认一 二 乙 令 对 半无限 大物体 在第一 类边界条件下 的 导热 问题 的解 也可写 出与 上面类 似的结 果 。 由式 可 知 当 侧 州 侧 、 时 ， 、 ， 此即 、 。 ， 而 当 引 时 可 以 认为温度 没有变化 ， 所 以满足 ，了 二 川 了 。 二 的 就是热 层厚度 ， 即有 钓 ’ 侧 。 二 ， 所 以 ， ， 丁 丫 丁 ， 或写成 占 二 二 大 。 二 ‘ 了 丁 要 是定义一个导 热 雷诺数 。 。 ， 刀 、 “ 丁 则 式可 写 成

6.(T)/x=4.0vReD. (11) 导热诺数的物理意义如下： Rp,=x·(x)a=特征尺寸×扰动传递平均速度/导热粘度=扰动传递惯性力与导热 粘性力的比值。 这里称ā（导温系数）为宁语粘度是沿用流体力学中的概念。因为流体的粘度代表其传 递动量的能力，或音说是传递力扰动的能力，而导温系数（这里称之为导热粘度）则代表物 体传递热扰动的能力。 从导热雷诺数的定义上看，它'与付立叶数Fo的关系为：Rp、=1/Fo,但导热雷诺数无 论从物理意义或人们的理解方面都共有优点。 另外，定义一个阻热系数Cr: Cr=q(x,T)/q(x,T)x=0 (12) 山式(6)可知：q(x,T)g(x,T)}、,。=cxp(-x2/4a) =cxp(Rep.4) 所以：Cr=q(x,t),q(x,t)|g=c\p(RCn4) (13) 比铰式(7)和式(11)及式(8)和式(13)可以发现，结果具有相似性，并山(13)式 可以只有(8)式的作用。 2,5由上述的类似性可得出另外一个有趣的思想 将2.4中引入的导热出塔数扩展到任意的不稳态导热问题，并将它与流体流动进行类 比可得出一个很有趣的思想。 在流体流动中，如果诺数人到一定的时候，流动由层流转变成素流，此时的雷诺数就 是临雷诺数，临界雷诺数通常打上限和下限之分。在不稳态导热中，如果毕妖数一定，则 当导热雷诺数RD,很小时（即付立叶数很大），物体可以认为是薄体，当导热雷诺数增加 时（即付立叶数减小），物体由薄向厚转化，这一转化存在一个区间，位于此区间的导热 宙诺数称为临界导热诺数。文献〔6]中通过实际计算得到这样一个结论：当毕欧数一定时， 付立叶数由小到火，物体将由厚转薄。此转变行一付立叶数范围，与本文上述分析的结果一 致。 山以上分析可知：可以类似地将导热问题按导热出诺数的大小分成两个区： 层态导热（包括稳态导热和海体的导热）： (Repa临界导热雷诺数) 茶态导热（厚材的不稳态导热）： (Rep.>临界导热出诺数) 这里稳态子热1类到层态导热，时为对稳态片热，付立叶数趋于∞，所以Rp→0， 显然处丁层念导热区。 层态和系态导热的等热流线与流体流动中的流线是类似的。 330

， 了 ‘ 召 导 热 击 诺 数的物 理 意 义如 下 二 · 仕 ’ 。 特 征尺 ， 扰 动 传递 平均 速 度 导热 粘度 二 扰 动传递惯性 力 与 导热 粘性 力的 比 值 。 这 里称 导 温 系数 为 份分 粘 度是沿 用 流体 力 学 中的 概念 。 因为 流体的 粘度 代表其传 递 动员的 能 力 ， 或 台说是 传递 力扰 动 的能 力 ， 而导 温 系数 这 里称 之为导 热 粘 度 则代 表物 体传递热 扰动 的能 力 。 从 导 热雷 诺数 的 定 义 仁石 ， 它 ’ 付立 叶 数 为关系为 。 、 “ 尸。 ， 但导 热 雷 诺数 无 论从物理 意义或 人 们 的理 解 方面 都其 有优点 。 另外 ， 定 义一 个阻 热 系数 洲八 ， ，‘ 叮 ， 山式 可 知 ， ，‘ 。 ， 二 一 。 一 ‘ 动 二 。 、 尸 。 、 所 以 二 ， 厂 ， 、 一 。 二 。 、 。 ， · 比较 式 和 式 一 及 式 和式 飞丁以 发现 ， 结果 具有 相 似性 ， 并且 式 可 以 具有 式的 作用 。 由上 述 的类似 性可褥出 另外一 个 有趣 的思想 将 。 、 ，引入 的导 热宙 诺数 扩展 到任 意的不 稳态导 热 问题 ， 并将它 与流体流 动 进 行 类 比 可 得 出 一 个很有趣 的思想 。 在流体流 动 中 ， 如果宙 诺数 大 到 一 定 的 时 候 ， 流 动 由层 流转变成 紊流 ， 此时的 雷诺 数就 是 临 界，’ 诺数 ， 临 界雷 诺数 通 常有 上 限和 下 限 之 分 。 在不 稳态导热 中 ， 如果 毕欧 数一 定 ， 则 当导 热 雷 诺数 、 很小时 即 付立 叶数很 大 ， 物 体可 以 认为是 薄体 当导 热雷诺 数 增 加 时 目几付立 ” 十数减 小 ， 物 体 由薄向厚转 化 ， 这一转 化存 在一 个 区间 ， 位于此 区 间 的 导 热 雷诺 数称 为临 界导 热宙 诺数 。 文献〔 川 ，通过 实际 计算得到 这样一 个结 论 当毕欧 数一 定 时 ， 付立 叶数 由小 到 大 ， 物 体将 由厚转 薄 。 此转 变有一 付立 叶数范 围 ， 与本 文上述 分析 的结 果一 致 。 山以上分析 可知 ，丁以 类低地将 导 热 问 题 按导 热 ，’ 诺数的大 小分成 两个 区 层态导 热 包括 德态导 热 和 薄体 的导热 、 临界导热 宙诺 数 紊态 导热 厚 材的不德 态导热 临 界导热宙 诺数 这 叭德 态 汁热 类到 层 态 汁热 ‘ ，， 为 讨稳 态 份热 ， 付立 叶 数趋 于 ， 所 以 尸 。 ， 、 ， 显 然处 于层 态 廿热 区 。 层态 和 紊态 导热 的 等热 流线 与流 体流动 ‘卜的 流线 是 类 似的 。 尸碑