频率域滤波·4.1背景·4.22基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变换·4.4单变量的离散傅立叶变换·4.5两个变量的扩展·4.6二维离散傅立叶变换的一些性质·4.7频率域滤波基础·4.8频率域滤波器平滑图像·4.9频率域滤波器锐化图像·4.10选择性滤波
• 4.1 背景 • 4.2 基本概念 • 4.3 取样和取样函数的傅立叶变换 • 4.4 单变量的离散傅立叶变换 • 4.5 两个变量的扩展 • 4.6 二维离散傅立叶变换的一些性质 • 4.7 频率域滤波基础 • 4.8 频率域滤波器平滑图像 • 4.9 频率域滤波器锐化图像 • 4.10 选择性滤波 频率域滤波
f(t) = f(t)Sar(t)(DFT)s4.4单变量的离散傅立叶变换Zf(t)(t -nAT)取样后的函数f（t）的傅里叶变换：n=-000O1n>F(u) = F(μ) ★S(μ) =F(t))dtF(t)s(u - t)dt s(u-T4TATX00n=-0000(0)ssr(0)1nZF(μATATn=-00由傅里叶变换定义得2AT-AT0AT2A700F(μ)Tf(t)e-2jinμt dtF(u) =f(t)8(t-n△T)e-2jnutdt00-77.=0Z1/A72/471/△T2/μ7f(t)8(t -n△T)e-2jnμt dt00F(u)是周期为二的无限周期连续函数，对808017Zf(n△T)e-j2nμn△Tfne-j2nμn△T>F(u)进行一个周期的取样是DFT的基础n=-00n=-80
§4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 取样后的函数𝒇෨(𝒕)的傅里叶变换： 由傅里叶变换定义得 𝐹෨ 𝜇 = න −∞ ∞ 𝑓ሚ 𝑡 𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 𝐹෨ 𝑢 是周期为 1 ∆𝑇 的无限周期连续函数，对 𝑭෩ 𝒖 进行一个周期的取样是DFT的基础 𝐹෨ 𝜇 = 𝐹(𝜇)𝑆(𝜇) = න −∞ ∞ 𝐹 𝜏 𝑆 𝜇 − 𝜏 𝑑𝜏 = 1 ∆𝑇 න −∞ ∞ 𝐹 𝜏 𝑛=−∞ ∞ 𝛿(𝜇 − 𝜏 − 𝑛 ∆𝑇 ) 𝑑𝜏 = 1 ∆𝑇 𝑛=−∞ ∞ 𝐹(𝜇 − 𝑛 ∆𝑇 ) = න −∞ ∞ 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛 △ 𝑇)𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑛 △ 𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 = 𝑛=−∞ ∞ න −∞ ∞ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛 △ 𝑇)𝑒 −2𝑗𝜋𝜇𝑡𝑑𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇
(DFT)S4.4单变量的离散傅立叶变换假设在周期u=0到1/△T之间得到F(u)的M个等间距的样本。可通过在如下频率处取样得到：m00WiWM △T,m = 0,1,2, ,M - 1u=f(nAT)e-j2nunATF(u) =M-1fne-jznunamYfne-j2元元"mnFmt,m=0,1,2,,M-1nn=0给定一个由f（t)的M个样本组成的集合(fn),可以得到一个与输入样本集合离散傅里叶变换相对应的MF(μ)个复数离散值的样本集合(F㎡}。M-112Fmei2mmn/M,n = 0,1,2,.., M 1Ffn =M2/AT-1/AT1/A72/AT0m=0
假设在周期𝜇 = 0到𝟏/△ 𝑻之间得到𝐹෨ 𝑢 的M个等间距的样本。可通过在如下频率处取样得到： 𝜇 = 𝑚 𝑀 △ 𝑇 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝐹𝑚 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋 𝑚 𝑀 𝑛 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 给定一个由𝑓(𝑡)的M个样本组成的集合 𝑓𝑛 ,可以得到一个与输入样本集合离散傅里叶变换相对应的M 个复数离散值的样本集合 𝐹𝑚 。 𝐹෨ 𝜇 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓(𝑛 △ 𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋𝜇𝑛△𝑇 §4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 𝑓𝑛 = 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝐹𝑚𝑒 𝑗2𝜋𝑚𝑛/𝑀 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1
S4.4单变量的离散傅立叶变换(DFT)离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。离散傅里叶变换（DFT）M-1M-1m-j2元(x)e-j2rux/M,u = 0,1,2, .., M - 1MnF(u) =Fm=,m=0,12,..,M-12nX=0n=0离散傅里叶变换（IDFT，inversediscretefouriertransform）M-1M-11MFmej2mmn/M, n = 0,1,2,., M --1F(u)ej2rux/M, x = 0,1,2, ., M - 1f(x)=MZfn =u=0m=0具有周期性F(u) =F(u+kM)f(x) = f(x + kM)
离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。 𝐹 𝑢 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑢 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑓 𝑥 = 1 𝑀 𝑢=0 𝑀−1 𝐹(𝑢)𝑒 𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑥 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 §4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 𝐹𝑚 = 𝑛=0 𝑀−1 𝑓𝑛𝑒 −𝑗2𝜋 𝑚 𝑀 𝑛 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑓𝑛 = 1 𝑀 𝑚=0 𝑀−1 𝐹𝑚𝑒 𝑗2𝜋𝑚𝑛/𝑀 , 𝑛 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 离散傅里叶变换 (DFT) 离散傅里叶变换 (IDFT, inverse discrete fourier transform) 具有周期性 𝐹 𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝑘𝑀 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘𝑀
(DFT)s4.4单变量的离散傅立叶变换城如果f(x)由函数f(t)以VT为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合(f(x)),m=0,1,2,,M-1的记录的持续时间为T=MAT离散频率域中的相应间隔：M-1f(x)e-jzmux/M, u = 0,1,2, ,M - 11F(u) =11Au=X=0TMATmMAT,m= 0,1,2,, M- 1u=由DFT的M个分量跨越的整个频率范围：12=Mu=△T
§4.4 单变量的离散傅立叶变换（DFT） 如果𝑓 𝑥 由函数𝑓 𝑡 以𝛻𝑇为单位间隔取样后的M个样本组成，则包含集合 𝑓 𝑥 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1的记录的持续时间为 𝑇 = 𝑀 △ 𝑇 △ 𝑢 = 1 𝑀 △ 𝑇 = 1 𝑇 Ω = 𝑀 △ 𝑢 = 1 △ 𝑇 离散频率域中的相应间隔： 由DFT的M个分量跨越的整个频率范围： 𝐹 𝑢 = 𝑥=0 𝑀−1 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗2𝜋𝑢𝑥/𝑀 , 𝑢 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1 𝑢 = 𝑚 𝑀 △ 𝑇 , 𝑚 = 0,1,2, ⋯ , 𝑀 − 1