西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第五章 线性系统的频域分析法

无关,所以图中略去 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①关于实轴的镜像 与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大,角度从90顺时针转到一909的圆弧 画出奈奎斯特图如图5-12所示 由图可见P=0N=2,z=N+P=2,闭环系统不稳 例5-4已知开环传递函数G(s)H(s)= 作出其奈奎斯特图判断闭环 s(s+1)(s2+2) 系统的稳定性。 解一:这是一个在虚轴上有三个开环极点的例子,它们分别为=0和s=±v2j 取奈奎斯特路径必须绕过这三个虚轴上的开环极点,如图5-13所示。先求路径①③ (奈奎斯特路径取为除O=√2点外的正虚轴部分),对应的奈奎斯特图,将s=j0代 入G(s),可得 A()= o(o)=-90-arctan@-arctan- 0 arctan 在正频率部分 q()= 90 arctan a(o≤√2) 00- arctan o(a≥√2) o(0)=-90°,9(√2)=-14474,(2)=--32474,o(∞)=-360° 100 p()= (1+o2)(2-o2) o(1+o2)(2-2) 对P(O)和Q()而言,其分子多项式为 常数,所以奈奎斯特图在有限频率范围内与实 轴和虚轴无交点。为了准确画出奈奎斯特图, 6=+D 需求出曲线的极值点,这可以通过对P(O)和 =2+ Q()的分母多项式求导来获得P()和 o=2-p② Q(o)的极值点,为求P(O)的极值点,可令 =0 d(+o2)(2- =2o(-2o2)=0 D⑥ 可求得m=2时,P(O)有最大值 图5-13

·155· 图 5-13 无关，所以图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①关于实轴的镜像。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从 90 o顺时针转到－90 o的圆弧。 画出奈奎斯特图如图 5-12 所示。 由图可见 P=0,N=2,Z=N+P=2,闭环系统不稳 例 5-4 已知开环传递函数 ( 1)( 2) 100 ( ) ( ) 2    s s s G s H s 作出其奈奎斯特图判断闭环 系统的稳定性。 解一：这是一个在虚轴上有三个开环极点的例子，它们分别为 s  0 和 s   2 j 取奈奎斯特路径必须绕过这三个虚轴上的开环极点，如图 5-13 所示。先求路径①③ （奈奎斯特路径取为除  2 点外的正虚轴部分），对应的奈奎斯特图，将 s  j 代 入G (s) k ，可得 1 (2 ) 100 ( ) 2 2       A              2 0 arctan 2 0 ( ) 90 arctan arctan  在正频率部分 (1 )(2 ) 100 ( ) (1 )(2 ) 100 ( ) (0) 90 , ( 2 ) 144.74 , ( 2 ) 324.74 , ( ) 360 270 arctan ( 2 ) 90 arctan ( 2 ) ( ) 2 2 2 2                                                  Q p o o o o o o 对 P() 和 Q() 而言，其分子多项式为 常数，所以奈奎斯特图在有限频率范围内与实 轴和虚轴无交点。为了准确画出奈奎斯特图， 需求出曲线的极值点，这可以通过对 P() 和 Q() 的分母多项式求导来获得 P() 和 Q() 的极值点，为求 P() 的极值点，可令 2 (1 2 ) 0 [(1 )(2 )] 2 2 2           d d ， 可 求 得 2 2   时 ， P() 有 最 大 值

2400 为求Q(O)的极值点 可令 do(1+2)2-2)d do db+o3-a5)=2+302-5o4=0 可求得-04略)即当=±1时,Q()有最大值,Q()=-50 下面给出数据 0.1 0.2 0.50.707 14 1.42 2 P(O)-50-498-491-457-4450-84462021:100.167 Q(o)-|-49752453-914629-0-603142365003 与路径②(奈奎斯特路径在a=点处为无穷小右半圆)对应的奈奎斯特图是G√2 和G4√2+的半径为无穷大,角度从-14749顺时针转到-32474的圆弧。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径 为无穷小,角度从-360°逆时针转到360 的圆弧(逆时针转两圈),由于此段奈奎 斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环 =-V 系统判稳无关,所以图中略去。 与路径⑤,⑥,⑦对应的奈奎斯特图 分别是路径①,②,③对应的奈奎斯特图 G=+o 关于实轴的镜像 与路径⑧对应的奈奎斯特图,是连接 G4(0)和G4(0)的半径为无穷大,角 度从90°顺时针转到-90°的圆弧 根据以上数据可画出奈奎斯特图 如图5-14所示 由图可见,P=0,N=2,z=N+P=2,闭环 图5-14 系统不稳 解二:此题是一个在虚轴上由三个开环极点的例子,所取奈奎斯特路径必须绕过这 三个虚轴上的开环极点,若应用逆奈奎斯特判据,则比较容易

·156· 图 5-14 44.4 9 400 ) 2 2 P(     。 为求Q() 的极值点， 可令 (2 ) 2 3 5 0 [ (1 )(2 )] 3 5 2 4 2 2                    d d d d 可求得    （略） ＝ 0.4 1 2  ，即当＝1时，Q() 有最大值，Q(1)＝ 50 下面给出数据：  0 0.1 0.2 0.5 0.707 1 1.4 1.42 2 5 P() -50 -49.8 -49.1 -45.7 -44.4 -50 -844.6 2021.5 10 0.167 Q() -∞ -497.5 -245.3 -91.4 -62.9 -50 -603 1423.6 5 0.033 与路径②（奈奎斯特路径在  2 点处为无穷小右半圆）对应的奈奎斯特图是  Gk 2 和  2 Gk 的半径为无穷大，角度从-144.74 o顺时针转到-324.74 o的圆弧。 与路径④对应的奈奎斯特图是半径 为无穷小，角度从-360 o 逆时针转到 360 o 的圆弧（逆时针转两圈），由于此段奈奎 斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环 系统判稳无关，所以图中略去。 与路径⑤，⑥，⑦对应的奈奎斯特图， 分别是路径①，②，③对应的奈奎斯特图 关于实轴的镜像。 与路径⑧对应的奈奎斯特图，是连接 (0 )  Gk 和 (0 )  Gk 的半径为无穷大，角 度从 90 o顺时针转到－90 o的圆弧 根据以上数据可画出奈奎斯特图 如图 5-14 所示。 由图可见，P=0,N=2,Z=N+P=2,闭环 系统不稳。 解二：此题是一个在虚轴上由三个开环极点的例子，所取奈奎斯特路径必须绕过这 三个虚轴上的开环极点，若应用逆奈奎斯特判据，则比较容易

(S+1)( G(SH(s 对G2*(s)=H s+1(s2 100 而言,没有开环极点,所以奈奎斯特路径可选最简形 式,如图5-8所示。先求与路径①对应的奈奎斯特图,将S=jO代入G*(s),得 90°+ arctan d(O≤√2) 事 270°+ arctan(O≥√2) √2)=14474 q*(√2)=32474,q*(∞)=360 2(a2-2) Q*(o) (2 在O=0和O=√2时,奈奎斯特图将与实轴和虚轴相交,不过交点都在原点 为了准确画出逆奈奎斯特图,需求出曲线的极值点,这可通过对P*(o)和Q*()分 别求导来获得其极值点。 由2+=4-4m=0,可求得P*()的极大值,解得O=土P+()=-001 d 100 由9+=2-30-=0,可求得Q*()的极大值,解得O= 100 375√3 0 2/3 2 0 0.0089 -0.01 5.75 Q*(o) 0 0 -0.04 -1.15 98

·157· 100 ( 1)( 2) ( ) ( ) 1 2    s s s G s H s 对 100 ( 1)( 2) * ( ) 2    s s s G s k 而言，没有开环极点，所以奈奎斯特路径可选最简形 式，如图 5-8 所示。先求与路径①对应的奈奎斯特图，将 s  j 代入G * (s) k ，得 100 (2 ) * ( ) 100 ( 2) * ( ) * ( 2 ) 324.74 , * ( ) 360 * (0) 90 , * ( 2 ) 144.74 , 270 arctan ( 2 ) 90 arctan ( 2 ) * ( ) 100 1 (2 ) * ( ) 2 2 2 2 2                                              Q P A       在  0 和  2 时，奈奎斯特图将与实轴和虚轴相交，不过交点都在原点。 为了准确画出逆奈奎斯特图，需求出曲线的极值点，这可通过对 P * () 和Q * () 分 别求导来获得其极值点。 由 0 100 * 4 4 3      d dP ，可求得 P * () 的极大值，解得  1, P * (1)  0.01 由 0 100 * 2 3 2     d dQ ，可求得Q * () 的极大值，解得 75 3 2 ) 3 2 , *( 3 2    Q   0 2 / 3 1 2 2 5 10 P * () 0 -0.0089 -0.01 0 0.08 5.75 98 Q * () 0 0.011 0.01 0 -0.04 -1.15 -9.8

其次,求与奈奎斯特路径中无穷大右 半圆(路径②)对应的奈奎斯特图,将 s=Re°代入G4(s),其中R→∞θ由 变化到;得 linG*k(s)=lim =∞e= 当由变化到-时,由2z变化到 根据以上数据,可画出逆奈奎斯特 图如图5-15所示 图5-15 由图可见P=0,N=2,Z=N+P=2,闭环系 统不稳 例5-5设单位负反馈系统的开环传递函数为 G. (s) K-s 6s+1) 其中,K>0,若选用奈奎斯特路径如图5-16 (1)画出系统与该奈奎斯特路径对应的奈奎斯特 O=0 曲线(即该奈奎斯特路径在G(j)平面中的映射) (2)根据所画奈奎斯特曲线及奈奎斯特稳定判据 判断闭环系统稳定的条件;当闭环系统不稳定时计 算闭环系统在右半s平面的极点数 解:(1)先求与路径①对应的奈奎斯特图 图5-16 将s=j代入G(s) Go) K0-52) jo0+j5o)1+250200+2502) ,O(o) K0-502) 0+2502) A P(o=-90-arctan 5o-arctan a q(0)=-90°,(∞)

·158· 其次，求与奈奎斯特路径中无穷大右 半圆（路径②）对应的奈奎斯特图，将 j s  Re 代入 G (s) k ，其中 R  , 由 2  变化到- 2  ；得    j j s R k s e e s G s j         4 Re 4 100 lim * ( ) lim 当θ由 2  变化到- 2  时， 由 2 变化到 - 2 。 根据以上数据，可画出逆奈奎斯特 图如图 5-15 所示。 由图可见P=0,N=2,Z=N+P=2,闭环系 统不稳。 例 5-5 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ( ) ( ) ( ) 5 1 1    s s K s G s k 其中，K>0，若选用奈奎斯特路径如图 5-16。 （1）画出系统与该奈奎斯特路径对应的奈奎斯特 曲线（即该奈奎斯特路径在G ( j) k 平面中的映射）； （2）根据所画奈奎斯特曲线及奈奎斯特稳定判据 判断闭环系统稳定的条件；当闭环系统不稳定时计 算闭环系统在右半 s 平面的极点数。 解：（1）先求与路径①对应的奈奎斯特图。 将 s  j 代入G (s) k ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 25 1 5 1 25 6 1 25 1 5 1 25 6 1 5 1                               K Q K p K j K j j K j G j k    (0) 90 , ( ) 270 ( ) 90 arctan 5 arctan 1 25 1 ( ) 2 2                       K A 图 5-15 图 5－16

求与实轴的交点,令Q()=0解得D=、,P()=-K 与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小,角度从-270逆时针转到270的圆弧 由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关,所以图中略去 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应 的奈奎斯特图关于实轴的镜像 与奈奎斯特路径中原点附近的无穷小半径 左半圆(路径④)对应的奈奎斯特图是连接 G4(0-)到G(0)逆时针转过180的无穷大 半圆弧。 画出奈奎斯特图如图5-17所示。 (2)此时,由于奈奎斯特路径的选择,使原 点处的开环极点被看作是右半开环极点,即 P=1,要使z=0,则要求奈奎斯特图逆时针包围 图15-17 (-1,j0)点一圈,即N=1。于是要求奈奎斯特图与负实轴的交点坐标大于(-1,j0) 点。即-1<-K<0 所以-1<-K<0时闭环系统稳定,当K=1时系统临界稳定。 当K>1时系统不稳定,此时闭环右极点数Z=N+P=1+1=2。 例5-6图5-18是开环传递函数为G(s)的单位反馈控制系统的奈奎斯特图,确定 在下列各种条件下系统的开环传递函数和闭环传递函数在右半平面的极点数,并确定系 统的开环稳定性和闭环稳定性 (1)G(s)在右半s平面有一个零点;(-1,j0)点位于点A (2)G(s)在右半s平面有一个零点:(-1,j0)点位于点B (3)G(s)在右半s平面没有零点;(-1,j0)点位于点A (4)G(s)在右半s平面没有零点:(-1,j0)点位于点B 解:本题的解题步骤是①已知开环传递 函数在右半平面的零点数Z0及完整的奈奎 斯特图对原点的包围圈数No的情况下,根据 奈奎斯特判据确定开环传递函数在右半平面 的极点数P。②在己知开环传递函数在右半 平面的极点数P,及完整的奈奎斯特图对 (-1,j0)点的包围圈数N的情况下,根据 奈奎斯特判据确定闭环传递函数在右半平 图5-18

·159· 图 15-17 图 5-18 求与实轴的交点，令Q()  0 ,解得   P )  K 5 1 , ( 5 1  。 与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-270 o逆时针转到 270 o的圆弧， 由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。 与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应 的奈奎斯特图关于实轴的镜像。 与奈奎斯特路径中原点附近的无穷小半径 左半圆（路径④）对应的奈奎斯特图是连接 (0 )  Gk 到 (0 )  Gk 逆时针转过 180 o 的无穷大 半圆弧。 画出奈奎斯特图如图 5-17 所示。 （2）此时，由于奈奎斯特路径的选择，使原 点处的开环极点被看作是右半开环极点，即 P=1,要使 Z=0，则要求奈奎斯特图逆时针包围 （-1，j0）点一圈，即 N=-1。于是要求奈奎斯特图与负实轴的交点坐标大于（-1，j0） 点。即 1  K  0 。 所以 1  K  0 时闭环系统稳定，当 K=1 时系统临界稳定。 当 K>1 时系统不稳定，此时闭环右极点数 Z=N+P=1+1=2。 例 5-6 图 5-18 是开环传递函数为G(s) 的单位反馈控制系统的奈奎斯特图，确定 在下列各种条件下系统的开环传递函数和闭环传递函数在右半平面的极点数，并确定系 统的开环稳定性和闭环稳定性。 （1）G(s) 在右半 s 平面有一个零点；（-1，j0）点位于点 A。 （2）G(s) 在右半 s 平面有一个零点；（-1，j0）点位于点 B。 （3）G(s) 在右半 s 平面没有零点；（-1，j0）点位于点 A。 （4）G(s) 在右半 s 平面没有零点；（-1，j0）点位于点 B。 解：本题的解题步骤是①已知开环传递 函数在右半平面的零点数 Z0 ,及完整的奈奎 斯特图对原点的包围圈数 N0的情况下，根据 奈奎斯特判据确定开环传递函数在右半平面 的极点数 P0。②在已知开环传递函数在右半 平面的极点数 P，及完整的奈奎斯特图对 （-1，j0）点的包围圈数 N 的情况下，根据 奈奎斯特判据 确定闭环传递函数在右半平