=1+ 1+—(1 )<1+ P 即s有界,则P-级数收敛 当p>I时,收敛 P-级数 当≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数
= + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − + p 即 有界, n s 则P −级数收敛. − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
例2证明级数∑一是发散的 n√H(n+1) 证明 m(n+1)n+1 而级数∑;发散, 级数∑ 发散 m、n(n+1)
例 2 证明级数 =1 ( + 1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 + n n + n , 1 1 1 n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1 = + n n n 级数 发散
4比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑都是正项级数如果lm"= →0 n=1 1- 则(1)当0<l<+00时,二级数有相同的敛散性; 2)当l=0时,若∑"收敛则∑u1收敛; H=1 (3)当l=+∞时,若∑发散则∑un发散; n=1
4.比较审敛法的极限形式: 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散; lim l, v u n n n = → 0 l + l = 0 l = + n=1 n v n=1 un
证明(1)由m=l对于E=>0, n→0 2 彐N,当n>N时,l-<"<l+ 3l 即vn<ln<。vn(n>N) 由比较审敛法的推论,得证
证明 l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 = l 对于 N, 当n N时, 2 2 l l v l u l n n − + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n n n 由比较审敛法的推论, 得证
5极限审敛法 设∑un为正项级数, 如果 lim nu=l>0(或lmmn=o), n→0 n→0 则级数∑u发散; n 如果有P>1,使得 Flimn'u存在 n→0 则级数∑un收敛
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. 5.极限审敛法：