二、对坐标的曲线积分的计算法定理：设 P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧 L 上有定义且x=Φ (t)t:α一β，则曲线积分连续，L的参数方程为y=甲(t)存在,且有, P(x, y)dx+Q(x, y)dy」,t P[0(t), (t)bs(t)+Q[0(t), W(t) i(t) ]d t证明：下面先证J , P(x, y)dx =J βP[o(t), w(t)Φ(t)dt上页下页返回目录结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 设 P( x, y) , Q( x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 { x= ϕ (t) y= ψ (t) t :α →β, 则曲线积分 ∫ L P( x, y)dx+Q( x, y)dy =∫ α β { P [ ϕ (t), ψ (t)]ϕ ' (t) ψ ' +Q [ ϕ (t), ψ (t)] (t) }d t 连续, 证明: 下面先证 ∫ L P( x, y)dx =∫ α β P [ ϕ (t), ψ (t)] ϕ dt ' (t) 存在, 且有
n>J, P(x,y)dx = lim根据定义P(Sj, ni) Axi入-01合设分点x,对应参数t，点（si，n）对应参数Ti，由于4x,= X,- Xi-1 = Φ(t,)- Φ(ti-1) = Φ (T)△tn:J , P(x,y)dx=lim)P[Φ(T,), W(T,))Φ(T)Ati入-0=1因为L为光滑弧，所以Φ（t）连续n=lim[Φ(T), (T)]Φ(T)AtPT入-0」~P[Φ(t), (t)] $(t) dt」 , Q(X, y)dy =J βQ[(t), (t)同理可证wi(tdt目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 设分点 对应参数 根据定义 xi t i , 点 ( ξi , ηi ) τ i , 由于 Δxi = xi − xi− 1 = ϕ (t i )− ϕ (t i− 1 ) = ϕ ' (τ i ' )Δti ∴ ∫ L P( x, y)dx = ∫ α β P [ ϕ (t), ψ (t)] dt = lim λ→0 ∑ i= 1 n P [ ϕ (τ i ) , ψ (τ i )] ϕ ' (τ i ' )Δti = lim λ→0 ∑ i= 1 n P [ ϕ (τ i ) , ψ (τ i )] ϕ ' (τ i )Δti ϕ ' (t) ∫ L P( x, y)dx = lim λ→0 ∑ i= 1 n P( ξi , ηi )Δxi 对应参数 所以 ϕ ' 因为L 为光滑弧 , (t) 连续 同理可证 ∫ L Q( x, y)dy =∫ α β Q [ ϕ (t), ψ (t)] ψ d t ' (t)