任取(Si,ni)E Mi-μM,，若极限nn>limP(S,,n,)△x,+.1imQ(Sj, n;) Ayi-01-01存在，且与分割T及（Sn)的取法无关，称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线L上的对坐标的记为：曲线积分：或第二类曲线积分[, P(x,j)dx+Q(x,y)dy 或 JP(x, y)dx+Q(x, y)dyABQ(x,y)称为被积函数或积分曲线L称为积分弧段目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 任取 ( ξi ,ηi )∈ Mi− 1 Mi , 若极限 lim ||T||→0 ∑ i= 1 n P( ξi ,ηi )Δxi + lim ||T||→0 ∑ i= 1 n Q( ξi ,ηi )Δyi 存在, 且与分割T及 (ξi ,ηi )的取法无关, 称此极限 为函数 沿有向曲线 上的对坐标的 P x y Q x y L ( , ), ( , ) 曲线积分. 记为: + L P(x, y)dx Q(x, y)dy ∫ AB 或 P( x, y)dx +Q( x, y)dy 或第二类曲线积分. L 称为积分弧段 或 积分曲线 . Q 称为被积函数 , ( x, y)
注(1)L是封闭的有向曲线，则记为ΦLPdx + Qdy(2)若记(F=Pi+Qj,dr=dx {ii+dy{ji,i 则可表示成J,Fdr第二类曲线积分的向量形式(3)力F(x,y)=(P(x,y),Q(×,y))沿有向曲线L所作的功为：W=J , P(x, y) dx+Q(x,y)dy目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (1)L是封闭的有向曲线, 则记为∮L Pdx +Qdy . (2)若记 {F ⃗ = P ⃗ i +Q ⃗ j ,d⃗ r = dx { ⃗ i ¿+dy { ⃗ j ¿,¿则可表示成 ∫ L F ⃗ ⋅ d⃗ r (3)力 F ⃗ ( x, y)= (P( x, y),Q( x, y))沿有向曲线L 所作的功为: W=∫ L P( x, y)dx +Q( x, y)dy 注 第二类曲线积分 的向量形式
存在条件：当P(x,y)，Q(x,y)在有向光滑曲线弧 L上连续时第二类曲线积分存在：推广空间有向曲线弧,/-Pdx+Qdy+Rdz.nW[, P(x, y,z) dx=limP(Si, Ni, 3i) 4x,ITI-0nWiJ , Q(x, y,z)dy=limQ(S,, ni,3)) AyiT-0n> R(x, y,z) dz=.limR(Si, Ni, 3)) Azi-01目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在有向光滑曲线弧 L上连续时, 第二类曲线积分存在 . 推广 空间有向曲线弧 Γ , ∫ Γ P( x, y, z)dx = lim ||T||→0 ∑ i= 1 n P( ξi ,ηi ,ζi )Δxi , ∫ Γ Pdx +Qdy +Rdz . ∫ Γ Q( x, y, z)dy = lim ||T||→0 ∑ i= 1 n Q( ξi ,ηi ,ζi )Δyi , ∫ Γ R( x, y, z)dz= lim ||T||→0 ∑ i= 1 n R( ξi ,ηi ,ζi )Δzi
3.性质(1)若」,P,dx+Q;dy(i= 1,2,,k)存在,则K[ L(Zc,P,)dx+(Zc,Q,)dy也存在, 且=1K斤Zcd ,P,dx+J ,Q,dy),J L(2c,P)dx+(2c,Q,)dy=一=1其中c(i=1,2,,k)为常数若有向曲线L由有向曲线L，首尾相接而成，且2Pdx+Qdy(i =1,2,..,k,)都存在,则)，Pdx+Qdy也存在，且了,Pdx+Qdy=」LPdx+Qdy目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 3.性质 ∫ L (∑ i= 1 k ci Pi )dx +(∑ i= 1 k ci Qi )dy 也存在, (1) 若 ∫ L Pi dx +Qi dy (i= 1,2, ⋯ ,k)存在, 则 且 ∫ L (∑ i= 1 k ci Pi )dx +(∑ i= 1 k ci Qi )dy = ∑ i= 1 k ci (∫ L Pi dx +∫ L Qi dy ), 其中ci (i= 1,2, ⋯ ,k)为常数. (2) , 若有向曲线 由有向曲线 首尾相接而成 且 L Li + Li Pdx Qdy (i = 1,2, ,k,)都存在,则∫ L Pdx +Qdy 也存在, 且 ∫ L Pdx +Qdy =∑ i= 1 k ∫ Li Pdx +Qdy
设L是与L方向相反的有向曲线弧，则3Pdx + Qdy=-1, Pdx + Qdy即第二型曲线积分与曲线的方向有关说明：对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向定积分是第二类曲线积分的特例目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (3) , L L 设 是与 方向相反的有向曲线弧 则 − . L L Pdx Qdy Pdx Qdy − + = − + 即第二型曲线积分与曲线的方向有关. • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !