免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 教学时间 课题21.3实际问题与一元二次方程(2) 果型新授 教学媒体 多媒体 1能根据◎以流感为问题背景,按一定传播速度逐步传播的问题:⊙以封面设计为问题背景,边 知识衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程刻画现实世界的模型作用 技能|2培养学生的阅读能力与分析能力 3.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理 过程通过自主探究,独立思考与合作交流,使学生弄清实际问题的背景,挖掘隐藏的数量关系,把 方法|有关数量关系分析透彻,找出可以作为列方程依据的主要相等关系,正确的建立一元二次方程 情感 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值 教学重点 建立数学模型,找等量关系,列方程 教学难点 找等量关系,列方程 教学过程设计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 导语:通过上节课的学习,谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般点题,板书课题 系上节课内容 步骤及应注意的问题 一步学习一元 、探究新知 次方程的应用 课本45页探究1 教师提出问题,并指导学 分析: 生进行阅读,独立思考 设每轮传染中平均一个人传染x了个人这里的一轮指一个传染周学生根据个人理解,回答 教师提出的问题弄清题弄清问题背景 第一轮的传染源有几个人?第一轮后有几个人被传染了流感?包意,设出未知数,并表示特别注意分析清 括传染源在内,共有几个人患着流感? 相关量,根据相等关系尝楚题意,题中没 ⊙第二轮的传染源有几个人?第二轮后有几个人被传染了流感?包试列方程,求根根据实际有特别说明,那 括第二轮的传染源在内,共有几个人患着流感? 问题要求,对根进行选择么最早的患者没 ④本题用来列方程的相等关系是什么?列出方程 确定问题的解教师组织有痊愈,仍在继 拓展:课本思考.四轮呢? 学生合作交流,达到共识,续传染别人 归纳 本题一流感为问题背景,讨论按一定传播速度逐步传播的问题,特师生汇总生活中常见的类上学生掌握这一 别需要注意的是,在第二轮传染中,在实际生活中,类似原型很多,似问题,总结这类题的做类题型 比如细胞分裂,信息传播,传染病扩散,害虫繁殖等,一般就考虑两题技巧 轮传播,这些问题有通性,在解题时有规律可循 ●课本47页探究3 分析: ①正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同,是什么含义? 教师提出问题,让学生结合将几何图形的问 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗?如果不相等,应该有什么关匾画图独立理解并解答问题,题用一元二次方 养学生对几何图形的分析程方法来解决 ⊙若设正中央的长方形的长和宽分别为9acm,7acm,尝试表示边衬l能力,将数学知识和实际问 的长度,并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系? 题相结合的应用意识 ④“应如何设计四周边衬的宽度?”是要求四周边衬的宽度,除了根 据上下边衬与左右边衬的宽度比为,设上下边衬宽为与左右边衬宽 为还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9:7,设正中央的长方 形的长为9xcm,宽为7xcm.尝试列出方程. ⑥方程的两个根都是正数,但是它们不都是问题的解,需要根据它们 的值的大小来确定哪个更合乎实际,这种取舍选择更多的要考虑问题 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 教学时间 课 题 21.3 实际问题与一元二次方程（2） 课 型 新 授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.能根据○1 以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2 以封面设计为问题背景，边 衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用. 2.培养学生的阅读能力与分析能力. 3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 过 程 方 法 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把 有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程. 情 感 态 度 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值. 教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程 教学难点 找等量关系，列方程 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 设计意图 一、复习引入 导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般 步骤及应注意的问题. 二、探究新知 ⚫ 课本 45 页探究 1 分析： ○1 设每轮传染中平均一个人传染 x 了个人.这里的一轮指一个传染周 期. ○2 第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包 括传染源在内，共有几个人患着流感？ ○3 第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包 括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？ ○4 本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程. 拓展：课本思考.四轮呢？ 归纳： 本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特 别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多， 比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两 轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循. ⚫ 课本 47 页探究 3 分析： ○1 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？ ○2 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关 系？ ○3 若设正中央的长方形的长和宽分别为 9a ㎝，7a ㎝，尝试表示边衬 的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ ○4 “应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根 据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽 为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为 9：7，设正中央的长方 形的长为 9x ㎝，宽为 7x ㎝.尝试列出方程. ○5 方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们 的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题 点题，板书课题. 教师提出问题，并指导学 生进行阅读，独立思考， 学生根据个人理解，回答 教师提出的问题.弄清题 意，设出未知数，并表示 相关量，根据相等关系尝 试列方程，求根.根据实际 问题要求，对根进行选择 确定问题的解.教师组织 学生合作交流，达到共识， 师生汇总生活中常见的类 似问题，总结这类题的做 题技巧. 教师提出问题，让学生结合 画图独立理解并解答问题， 培养学生对几何图形的分析 能力，将数学知识和实际问 题相结合的应用意识 联系上节课内容， 进一步学习一元 二次方程的应用 弄清问题背景， 特别注意分析清 楚题意，题中没 有特别说明，那 么最早的患者没 有痊愈，仍在继 续传染别人. 让学生掌握这一 类题型 将几何图形的问 题用一元二次方 程方法来解决
免费下载网址 http://jiaoxues5u.ys168.com/ 的实际意义 归纳: 在实际生活中有许多几何图形的问题原型,可以用一元二次方程作教师总结,学生体会 为数学模型来分析和解决 比较复杂的问题,可以通过设间接未知数的方法来列方程 果堂训练 补充练习 学生独立完成,教师巡视使学生巩固提高 1.从正方形铁片,截去2m宽的一条长方形,余下的面积是48m.指导,了解学生掌握情况,[解学生掌握情 并集中订正 兄 则原来的正方形铁片的面积是() A, 8cm B. 64cm c. 8cm D. 64cm 2.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙 另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m, 所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽 分别为 3有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面 面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长 和宽各是多少?(精确到0.1尺 4在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度 为多少? 四小结归纳 谈一节课的收获和体会 师生归纳总结,学生作笔纳入知识系统 作业设诅 总结本节课内 容,让学生体会 必做:P18:4-8 方程刻画现实世 选做:PI9:10 界的模型作用 补充作业 某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为 16m2,·上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 的实际意义. 归纳： ○1 在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作 为数学模型来分析和解决 ○2 .对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. 三、课堂训练 补充练习： 1．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2， 则原来的正方形铁片的面积是（ ）． A．8cm B．64cm C．8cm 2 D．64cm2 2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m， 所围的面积为 150m 2，则此长方形鸡场的长、宽 分别为_______． 3.有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面 面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长 和宽各是多少?（精确到 0．1 尺） 4.在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m 2 • 的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度 为多少? 四小结归纳 谈一节课的收获和体会. 五、作业设计 必做：P18：4-8 选做：P19：10 补充作业： 某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m 2，• 上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 教师总结，学生体会 学生独立完成，教师巡视 指导，了解学生掌握情况， 并集中订正 师生归纳总结，学生作笔 记. 使学生巩固提高， 了解学生掌握情 况 纳入知识系统， 总结本节课内 容，让学生体会 方程刻画现实世 界的模型作用. 教 学 反 思
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 第二十二章《一元二次方程》小结 、本章知识结构框图 舞做,列方 数学问题 实际间题 -+b 0(a≠0) 分解因式法 学问题的解 捡睑 b土 实际问题的答案 、本章知识点概括 1、相关概念 (1)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程,叫做一元二次方程 (2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) 其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 (3)一元二次方程的根:一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围 次方程:一元一次方程,二元一次方程,三元方程 整式方程二次方程:一元二次方程,二元二次方程 *(4)有理方 高次方程: 分式方程 2、降次——解一元二次方程 (1)配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法 配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.其步骤是 ①方程化为一般形式 ②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项 ③化二次项系数为1 ④配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,使方程左边是完全平方式 从而原方程化为(mx+n)2=p的形式 ⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了,如果p<0,则原方程无实数根。 (2)公式法:利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 其方法为:先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当A=b2-4ac≥0时,· 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 第二十二章《一元二次方程》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 1、相关概念 （1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a≠0)， 其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 （3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围． 一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程 整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程 *（4）有理方程 高次方程： 分式方程 2、降次——解一元二次方程 （1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为 1； ④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式， 从而原方程化为（mx+n）2 =p 的形式； ⑤如果 p≥0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果 p<0，则原方程无实数根。 （2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 其方法为：先将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当⊿＝b 2－4ac≥0 时，•
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 将ab、c代入求根公式x=-b√b2-436 (b2-4ac≥0)就得到方程的根 (3)分解因式法:先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而降次.这种解法叫做因式分解法.步骤是: ①通过移项将方程右边化为0 ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积 ③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程 ④解这两个一元一次方程,得一元二次方程的解。 元二次方程根的判别式 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 (2)运用根的判别式,在不解方程的前提下判别根的情况 ①4=b2-4ac>04方程有两个不相等实数根 4=b2-4ac=0←方程有两个相等实数根 ③4=b2-4ac<04方程没有实数根 ④4=b2-4ac≥0<方程有两个实数根。 (3)应用 ①不解方程,判别方程根的情况: ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围 ③应用判别式证明方程的根的状况(常用到配方法); 注意:运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程,即:a≠0 *4、一元二次方程根与系数的关系(本部分内容为选学内容) (1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2, 那么x1+x2=--,x1x2 (2)应用: ①验根,不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根 ②已知方程的一个根,求另一根及未知系数的值 ③已知方程的两根满足某种关系,求方程中字母系数的值或取值范围 ④不解方程可以求某些关于x1,x2的对称式的值,通常利用到 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 将 a、b、c 代入求根公式 x= 2a b b 4ac 2 − − （b 2 -4ac≥0）就得到方程的根． （3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为 0； ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。 3、一元二次方程根的判别式 （1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况： ①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。 （3）应用： ①不解方程，判别方程根的情况； ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）； 注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。 *4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 1 2 x , x ， 那么 a c x x a b x1 + x2 = − , 1 2 = （2）应用： ①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值； ③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于 1 2 x , x 的对称式的值，通常利用到： 1 2 2 1 2 2 2 2 x1 + x = (x + x ) − 2x x 1 2 2 1 2 2 (x1 − x2 ) = (x + x ) − 4x x
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ x1-x2 +X 当x1+x2=0且x1x2≤0,两根互为相反数 当4≥0且x1x2=1,两根互为倒数 (重点强调:一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0,厶≥0前提条件下应用的,解题中一定 要注意检验) ⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0): ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0的两个实数根 5、实际问题与一元二次方程 传播式分支问题;平均变化率问题:数字问题;利润问题:图形的面积问题;匀变速问题;握手、写信问 题;银行利率问题:浓度问题;方案设计问题等。 三、典型例题辨析 1、在下列方程中,是一元二次方程的有 个 ①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-=0 2、当 时,关于x的方程(m+2)x+3mx+1=0是一元二次方程 3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据下列表格的对应值 3.233.243.253.26 ax2+bx+c-.0.06-0.021003|00 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是 5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为 6、已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,则这个三角形的周长是 7、已知x2+y2+z2-2x+y-6z+14=0,则x+y+z的值是 8、已知2和-1是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,则m的值为 n的值为 9、已知方程3x2+2x-3=0的两根为不1、x2,则+x的值为 10、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共人 ll、一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为 12、解下列方程 (1)x2-4x-6=0 2)2x2+3=7x (3)x2-√2x+1=0 ()3x(x+2)=5(x+2) 13、若关于x的一元二次方程ax2-2x+6=0有两个实数根,求a的取值范围 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com ( ) | a | | | x x 4x1x2 2 1 2 1 2 x − x = + − = 当 1 2 x + x =0 且 1 2 x x ≤0，两根互为相反数； 当⊿≥0 且 1 2 x x =1，两根互为倒数。 （重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数 a≠0，⊿≥0 前提条件下应用的，解题中一定 要注意检验） ⑩用公式法因式分解二次三项式 ax 2 +bx+c(a≠0)： ax 2 +bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中 1 2 x , x 是方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的两个实数根。 5、实际问题与一元二次方程 传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问 题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。 三、典型例题辨析 1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个． ①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2 -1 ④3x2 - 5 x =0 2、当 m 时,关于 x 的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0 是一元二次方程. 3、方程 3x2 -3=2x+1 的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 4、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断关于 x 的方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)的一个根 x 的取值范围是________。 5、已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________． 6、已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x 2 -4x+3=0 的解，则这个三角形的周长是_____． 7、已知 x 2+y2+z2 -2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是_____． 8、已知 2 和 −1 是关于 x 的方程 2 0 2 x + mx + n = 的两个根，则 m 的值为 ，n 的值为 . 9、已知方程 的两根为 ，则 的值为 。 10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共_____人． 11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为_______． 12、解下列方程： ⑴ 4 6 0 2 x − x − = ⑵ 2x 3 7x 2 + = ⑶ 2 1 0 2 1 2 x − x + = ⑷ 3x(x + 2) = 5(x + 2) 13、若关于 x 的一元二次方程 2 6 0 2 ax − x + = 有两个实数根，求 a 的取值范围