复旦大学：《离散数学》课程教学讲义（集合论）第二章 关系（主讲：吴永辉）

2.2关系的性质 三关系图 设4={…an,R是A的二元关系。冲中每 个元素a用一个点表示,称该点为顶点a。 如果a尺,则从顶点a到顶点a存在一条弧。 如果a尺,则从顶点a到顶点a存在一条封闭弧。 这样表示R中关系的图形,称为R的关系图 例28

2.2 关系的性质  三 关系图 设A={a1, ……, an}，R是A上的二元关系。A中每 个元素ai用一个点表示，称该点为顶点ai 。 如果aiRaj，则从顶点ai到顶点aj存在一条弧。 如果aiRai，则从顶点ai到顶点ai存在一条封闭弧。 这样表示R中关系的图形，称为R的关系图。 例2.8

2.3关系的运算 定义26 设R,和R是从倒到硝两个二元关系,对 于a∈A,b∈B,定义 RR2a( r,UR,)be ak减城或aRb; RR2aR1R2)aRb且aR2b Rr-R2: a(R,-R2be ar,bh(a, beR, R,: ar,bela, bE(AxB)-R

2 .3 关系的运算  定义2.6 设R1和R2是从A到B的两个二元关系，对 于aA，bB，定义： R1R2：a(R1R2)b aR1b或aR2b； R1R2：a(R1R2)b aR1b且aR2b； R1-R2： a(R1-R2)b aR1b且(a, b)R2; Ř1：a Ř1b(a,b)(AB)-R1

2.3关系的运算 逆运算 定义27(逆关系)设尺是从A到6二元 关系,则从刷州的二元关系记为R,定 义为R=(baab)∈R,称为R的逆关 系 例如

2 .3 关系的运算  一 逆运算  定义2.7（逆关系） 设R是从A到B的二元 关系，则从B到A的二元关系记为R-1，定 义为R-1 ={(b,a)|(a,b)R}，称为R的逆关 系。  例如

2.3关系的运算 ■定理21 1)(R=R 2)(RUR2 =RiU R2 (3)(RR2)2=R1Rz (4)(AxBN= BxA (5)01=0; (6)(R=(R-) (7)(RR2)=R1-R2; (8)若RR,则R;cR

2 .3 关系的运算  定理2.1 （1）(R-1 )-1=R; （2）(R1R2)-1= R1-1 R2-1 ; （3）(R1R2)-1= R1-1 R2-1 ; （4） (AB)-1= BA； （5）-1=； （6）(Ř)-1= ; （7） (R1-R2)-1= R1-1 -R2-1； （8）若R1R2，则R1-1 R2-1 。 1 ( ) R 

证明方法 (1)证明两个关系相等,因为关系是集合,采用基 本法证明关系相等: 证明: ab左式→(ab右式;则左式c右式; ab∈右式→(ab左式;则右式c左式; 则左式=右式。 (2)证明满足某一性质 根据该性质的定义进行求证。 例如,要证明集合A上的二元关系R是自反的,就 是证明对于任意的a∈A,(aa∈R

证明方法 （1）证明两个关系相等，因为关系是集合，采用基 本法证明关系相等： 证明： (a, b)左式(a, b)右式; 则左式右式； (a, b)右式(a, b)左式; 则右式左式； 则左式=右式。 （2）证明满足某一性质 根据该性质的定义进行求证。 例如，要证明集合A上的二元关系R是自反的，就 是证明对于任意的aA，(a, a)R