上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例11设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[z,z) 1.-丌<t<0 上的表达式为f() 1.0<t<丌 解:先求傅里叶系数 丌0丌 f(t)cos nt dt 0 (1)cosntdt+- 1. cos nt dt 丌0 0(n=0,1,2,…)
1, 0 ( ) 1, 0 t f t t − − = 解: 先求傅里叶系数 0 0 1 1 ( 1)cos d 1 cos d nt t nt t − = − + = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) o y t −1 − 1 例1.1.1设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 1 ( )cos d n a f t nt t − =
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY f(tsin nt dt G1)sin ntt+- 1. sin ndt 丌 cosnt cosnt 2 coSnTT 0H丌 ,当n=1,3,5 [1-(-1)”]={nz 1 0,当n=2,4,6 f()=[smt+sm3+…+ sin(2k-l)t 2k (∞<t<+∞,t≠0,±丌,士2丌,…)
0 0 1 1 ( 1)sin d 1 sin d nt t nt t − = − + 0 1 cos nt n − = 0 1 cos nt n + − n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , 4 f t t ( ) sin = + 1 sin 3 3 t + 1 sin(2 1) 2 1 k t k + − + − ( , 0 , , 2 , ) − + t t 1 ( )sin d n b f t nt t − =
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t f(t)=-[sint+ 5 7 (-∞0<t<+0,t≠0,±丌,±2丌,…) 说明 Q 1)根据收敛定理可知, 丌 当t=kz(k=0,±1,±2,…) 1 0 2 Y 2)傅氏级数的部分和逼近 f()的情况见右图
sin 7 7 t + sin 9 ] 9 t + + 1) 根据收敛定理可知, 0 2 1 1 = − + 2) 傅氏级数的部分和逼近 4 sin 3 ( ) sin 3 t f t t = + sin 5 5 t + o y x −1 − 1 说明: f (t) 的情况见右图. ( , 0 , , 2 , ) − + t t 当t k k = = ( 0, 1, 2, )
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY f(t=-[sint+sin 3t+...+ 2/sin(2k-1)t+ (-∞<t<+∞,t≠0,±兀,士2兀) :::: 不同频率正弦波逐个叠加成方波 sint, sin 3t sin 5t sin 7t T
o t u − 1 −1 不同频率正弦波逐个叠加成方波 sin7 , 7 4 1 sin5 , 5 4 1 sin3 , 3 4 1 sin , 4 t t t t 4 1 1 ( ) [sin sin 3 sin(2 1) ] 3 2 1 f t t t k t k = + + + − + − ( ; 0, − + t t π, 2π, )
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY u sin t
u sin t 4 =