上定更大字 教学物狸方法 傅里叶积分变换 王健 2015.12.01
数学物理方法 王 健 2015.12. 01 傅里叶积分变换
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 第一章傅里叶积分叟换 所谓积分变换,就是通过特定的积分运算,把某函数类9中的一个函 数f(t),变换成另一函数类中的一个函数F(u)。一般地,含参变量u的 积分 u)= f(tK(t, wdt 将某函数类9中的函数f(t),通过上述的积分运算变成另一函数类中 的函数F(ω)就称为一个积分变换,其中:K(t,u)为一确定的二元函数,称 为积分变换的核
第一章 傅里叶积分变换
上定更大字 m1.1傅里叶积分公式 §1.1.1傅里叶级数 1. cost. sint. cos 2t. sin 2t.. cos nt. sin nt 在[-,]上正交, 证:"1 cos nt dt=0, sin nt dt=0(m=1,2,…) cos kt cos nt=2[ cos(k+n)t+cos(k-n)t cos kt cos nt dt ∫[cok+ny+sk-my]dr=0(k≠n) 同理可证: sin kt sin nt dt=0 (k≠n)
1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 , cos ,sin , t t t t nt nt 正交 , 1 2 cos( ) cos( ) d k n t k n t t − = + + − 证: − 1 cos d 0, nt t = sin d nt t − = 0 cos cos d kt nt t − = 0 sin sin d 0 kt nt t − = 同理可证 : (k n )
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-丌, 上的积分不等于0.且有 1·1dt=2丌 丌 cos ndt =t 丌 (n=1,2,…) sin nt dt=I 丌 1+cos 2nt coS 2nt coS nt sin nt 2 2
1 1d 2 t − = 2 sin d nt t − 2 cos d nt t − 2 1 cos 2 cos , 2 nt n t + = 2 1 cos 2 sin 2 nt n t − = = = 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0
上定更大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 问题:1若函数能展开成三角级数,a1,b是什么? 2展开的条件是什么? 设f()是周期为2兀的周期函数, 且能展开成三角级数 f(t)=4+2(a cos kt+ b, sin kt) k=1 (1)求an f(tdt d+∫1∑(cosk+bsik) 兀2
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai ,bi是什么？ 2. 展开的条件是什么? 设 f t( ) 2 是周期为 π的周期函数， (1) . 求 a0 π π π 0 π π π 1 ( )d d [ ( cos sin )]d 2 k k k a f t t t a kt b kt t − − − = = + + 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 k k k a f t a kt b kt = = + + 且能展开成三角级数