§3-3周期序列的DFS 周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连 续的周期信号的复数傅氏级数开始的 x(t)=∑X(k20)e(2 对上式进行抽样,得
§ 3-3 周期序列的DFS 一.周期序列DFS的引入 =− = k j k t x t X k e 0 ( ) ~ ( ) ~ 0 对上式进行抽样，得： 导出周期序列DFS的传统方法是从连 续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
(n7)=∑X(A20)e - nk ∑X(A2)eN ,代入0、2丌 k 因(n7)是离散的,所以X(k2)应是周期的 而且,其周期为2x/=M2,因此X(k0) 应是N点的周期序列
=− =− = = k n k N j k j k n T X k e x nT X k e 2 0 0 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 0 N T 2 0 = ( ) ~ x nT ( ) ~ 0 因 是离散的，所以 X k 应是周期的。 ( ) ~ 0 X k ，代入 而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。 0 2 /T = N
2丌 2 2丌 (k+rN)n nk kn 又由于eN N j2rn N 所以求和可以在一个周期内进行,即 2兀nk x(n)=∑X(2N k=0 这就是说,当在k=0,1,N-1求和与在 k=N.2N-1求和所得的结果是一致的。 考虑到:x(m7)~x(m),X(k20)~X(k) nk 则有,(m)=∑X(k)eN k=0
又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在k=0,1,..., N-1求和与在 k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。 kn N j j r n n k N k r N n j N j e e e e 2 2 2 ( ) 2 = = + − = = 1 0 2 0 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ~ ( ) ~ ( ) ~ ~ N k n k N j x n X k e x nT x n X k X k 则有， 考虑到： ， ； ( ) ( ) − = = 1 0 2 0 ~ ~ N k nk N j x nT X k e
x(n)的k次谐波系数X(k)的求法 1预备知识 )sm「N,r=mN,m为任意整数 丌 0,其他r N 1+eN te.2 ../xr(N-1) 0 2丌 N(r=mN时
二. 的k次谐波系数 的求法 1.预备知识 ( ) ~ x n ( ) ~ X k = = − = r N r mN m e N n r n N j ，其他 为任意整数 0 , , 1 0 2 ( ) 1 1 1 2 2 ( 1) 2 2 1 2 2 0 2 N r m N时 e e e e e e r N j r N N j r N N r j N r j N j N n r n N j = = − − = = + + + + − − =
同样,当k-r=pM时,p也为任意整数, 2T(k-nm=N= NS(O)=NOl(k-r)-pNI k-r)n 亦即 S(k-r)-pN]=8(k-r-pN) N ∑ Sk-(r+pN) 所以∑X(k)6k-(r+pM)=X(r+pN)=X() k=0
同样，当 时，p也为任意整数，则 (0) [( ) ] 1 0 ( ) 2 e N N N k r pN N n k r n N j = = = − − − = − ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ) ~ 1 0 X k k r pN X r pN X r N k − + = + = − = ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ( ) 2 k r pN e k r pN k r pN N N n k r n N j = − + = − − = − − − = − k − r = pN 所以 亦即