习题课 判断线性系统 x(n (n) T[] 如果n(n)=[x1(n)y2(n)=7[x2(m) 有 [a1x1(m)+a2x2(m)]=a1[x1(m)+a27[x2(m) 则系统为线性系统
习题课 一.判断线性系统 如果 ( ) [ ( )], ( ) [ ( )] y1 n = T x1 n y2 n = T x2 n 有 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] T a1 x1 n + a2 x2 n = a1 T x1 n + a2 T x2 n 则系统为线性系统。 x(n) y(n) T[ ]
例1.判断下列系统是否为线性系统。 (ay(n) nr(n (b)y(m)=x(n); (c)y(n)=x(m); (a)y(n)=3x(n) 解:(a)y(m)=mx(m) y,(n)=nx, (n)=T[x (n)],y2(n=nx, (n)=T[x,(n) TLa,x, (n)+a,x,n]=a,nx, (n)+a, nx, (n) a,y,(n)+a2y2(n a1[x(n)+a27[x2(n) 故为线性系统。操作:乘n
例1. 判断下列系统是否为线性系统。 ( ) ( ) 3 ( ) 5 ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ); 2 2 = + = = = d y n x n c y n x n b y n x n a y n nx n 解：(a) ( ) ( ) [ ( )], ( ( ) [ ( )] ( ) ( ) y1 n nx1 n T x1 n y2 n nx2 n T x2 n y n nx n = = = = = ） [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a T x n a T x n a y n a y n T a x n a x n a nx n a nx n = + = + + = + 故为线性系统。 操作：乘 n
(b) y(n)=x(n) ∵y(m)=x1(n2)=T[x1(m)y2(mn=x2(n2)=T[x2(m) Tla,x,(n)a,x2(n]=a, x,(n)+a2x2 (n) =a1y1(n)+a2y2(n) =a17x1(m)+a27[x2(m) 故为线性系统。 2 操作:n→)n
（b) ( ) ( ) [ ( )], ( ( ) [ ( )] ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 1 2 y n x n T x n y n x n T x n y n x n = = = = = ） [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 a T x n a T x n a y n a y n T a x n a x n a x n a x n = + = + + = + 故为线性系统。 操作： 2 n → n
( c) y(n)=x(n) ∷y(m)=x1(m)=T[x1(m)],y2(n)=x2(m)=T[x2(m) Tlax(mn)+a2x2(n)=[ax;(m)+a2x2(n)]2 =a12x2(m)+a2x2(n)+2aa2x(m)x(n) a1[x(n)+a2Tx2(H)]=a1x2(m)+a2x2(m) 可见:T44x(m)+a2x2(m)≠a[x(m)+a27[x2(m 故不是线性系统 操作:平方
( ) ( ) [ ( )], ( ( ) [ ( )] ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 1 2 y n x n T x n y n x n T x n y n x n = = = = = ） ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a x n a x n a a x n x n T a x n a x n a x n a x n = + + + = + 故不是线性系统。 操作：平方。 (c) [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 可见： T a1 x1 n + a2 x2 n a1 T x1 n + a2 T x2 n [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) 2 2 2 2 a1 T x1 n + a2 T x2 n = a1 x1 n + a x n
y(n)=3x(m)+5 y(n)=3x1(m)+5=TLx1(m)y2(mn)=3x2(n)+5=7[x2(m) 即,系统操作为乘3加5 1[a1x(n)+a2x2(m)=3a1x(m)+a2x2(m)+5 a1[x(n)+a2[x2(m)=3a1x1(m)+5a1+3a2x2(m)+5a2 可见:7ax(n)+a2x(m)≠a17x(m)+a27x2(m) 故不是线性系统
(d) 即，系统操作为乘 加 。 ） 3 5 ( ) 3 ( ) 5 [ ( )], ( 3 ( ) 5 [ ( )] ( ) 3 ( ) 5 y1 n x1 n T x1 n y2 n x2 n T x2 n y n x n = + = = + = = + T[a1 x1 (n)+ a2 x2 (n)] = 3[a1 x1 (n)+ a2 x2 (n)]+5 故不是线性系统。 [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] 可见： T a1 x1 n + a2 x2 n a1 T x1 n + a2 T x2 n 1 1 2 2 1 1 1 2 2 5 2 aT[x (n)]+a T[x (n)] = 3a x (n)+5a +3a x (n)+ a