3.5.2劳斯稳定判据( Routh's stability criterion) 3.5.2.1劳斯表 充要条件 线性系统稳定 闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面 令系统的闭环特征方程为 稳定判据 S"+a,S"+a,S"-2+…+a.,S+a.=0 (3-55) 如果方程式的根都是负实部,或实部为负的复数根,则其特征方程式的各项系数均 为正值,且无零系数。 证明设P,P2;…为实数根,-a1,-2土/2…为复数根 其中p,P2;…;a1,a2都是正值,则式(3-55)改写为 ao{(S+P)S+P2)…[(S+a1-jB1S+a1+B1)S+a2-B2)S+a2+B2)…}=0 即a{(S+PS+P2)…[S2+2a1S+a12+B1)(S2+2a2S+a2+B2)…}=0 (3-56 线性系统稳定 不会有系数为零的项必要条件
3.5.2劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion) 3.5.2.1劳斯表 线性系统稳定 闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。 充要条件 令系统的闭环特征方程为 稳定判据 0 0 (3 55) 1 0 2 2 1 0 + 1 + + + − + = − − − a S a S a S an S an a n n n 如果方程式的根都是负实部，或实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均 为正值，且无零系数。 其中 p1 , p2 , ,1 ,2 , 都是正值，则式（3−55）改写为 a0 {(S + P1 )(S + P2 )[(S +1 − j1 )(S +1 + j1 )][(S + 2 − j 2 )(S + 2 + j 2 )]} = 0 {( )( ) [( 2 )][( 2 )] } 0 (3 56) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 即a0 S + P1 S + P2 S + S + + S + S + + = − 证明 设 − p1 ,−p2 , 为实数根， −1 j1 ,−2 j2 为复数根 线性系统稳定 不会有系数为零的项 必要条件
asntas+as"++asta=o (3-55) 将各项系数,按下面的格式排成老斯表 S a a 4 C S S S f1
将各项系数，按下面的格式排成老斯表 0 0 (3 55) 1 0 2 2 1 0 + 1 + + + − + = − − − a S a S a S an S an a n n n 1 0 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 2 1 3 5 7 1 0 2 4 6 S f S e e S d d d S c c c S b b b a S a a a a S a a a a n n n n − − −
表中 a, -aoao a,a-and aa -and a -a b a。-a bar-a, b4 这样可求得n+1行系数 f1 劳斯稳定判据 ①如果劳斯表中第一列的系数均为正值,则其特征方程式的根 都在S的左半平面,相应的系统是稳定的。 ②如果劳斯表中第一列系数的符号有变化,其变化的次数等于 该特征方程式的根在S的右半平面上的个数,相应的系统为不 稳定
1 1 2 1 2 1 1 1 7 1 4 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 1 6 0 7 3 1 1 4 0 5 2 1 1 2 0 3 1 , , , , e e d d e f b b a a b c b b a a b c b b a a b c a a a a a b a a a a a b a a a a a b − = − = − = − = − = − = − = 表中 这样可求得n+1行系数 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根 都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于 该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不 稳定。 劳斯稳定判据
例3-5已知一调速系统的特征方程式为 试用劳斯判据判别系统的稳定性 S3+41.5S2+517S+2.3×104=0 解:列劳斯表 517 41.52.3×10 -38.5 2.3×10 该表第一列系数符号不全为正,因而系统是不稳定的;且符 号变化了两次,所以该方程中有二个根在S的右半平面
已知一调速系统的特征方程式为 41.5 517 2.3 10 0 3 2 4 S + S + S + = 例3-5 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表 0 4 1 2 4 3 2.3 10 38.5 41.5 2.3 10 0 1 517 0 − S S S S 该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符 号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。
例3-6已知某调速系统的特征方程式为S+412+517S+16701+K)=0 求该系统稳定的K值范围 解:列劳斯表 S 517 41.51670(1+K)0 S 41.5×517-1670(+K 41.5 1670(1+K) 由劳斯判据可知,若系统稳定,则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得 ∫57-40.2(1+K)>0 1<K<11.9 16701+k)>0
例3-6 已知某调速系统的特征方程式为 41.5 517 1670(1 ) 0 3 2 S + S + S + + K = 求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表 1670(1 ) 0 41.5 41.5 517 1670(1 ) 41.5 1670(1 ) 0 1 517 0 0 1 2 3 S K K S S K S + − + + 由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得： + − + 1670(1 ) 0 517 40.2(1 ) 0 K K −1 K 11.9