412 数字图像处理（第三版） 图9.12（©）显示了局部背绿集合(w-D)对A的补集的腐蚀。图9.12()中的外部阴影区域是腐蚀的 部分。我们从图9.12（④和(e)注意到，D精确地拟合A内部的位置集合是由D对A的腐蚀和(W-D)对 A的腐蚀的交集，如图9.12(0所示。这个交集正好是我们要寻找的位置。换句话说，如果B表示 由D及其背景组成的集合，则B在A中的匹配（或匹配集合），表示为A©B,是 A@B=(AeD)nA日(W-D)] (9.41) 我们可以通过令B=(B,B,)对这种表示法稍微做些推广，其中R是由与一个目标相联系的B 的元素构成的集合，B,是由与相应背景相联系的B的元素构成的集合。根据前面的讨论， B=D,B2=(W-D)。用这种表示方法，式(9.41)变为 A©B=(A9B)n(AOB) (9.42) 因此，集合A©B包含了所有的原点，同时，在这些原点处，B,在A中找到了一个匹配（击中），B 在A中也找到了一个匹配。使用式(2.619)中给出的集合差的定义，及式(9.25)中给出的腐蚀和膨 胀间的对偶关系，我们可将式(9.42)写为 A©B=(A日B)0(A⊕B) (9.4-3) 然面，式（⑨42）更为直观。我将上述三个公式称为形态学击中或击不中变换 使用与物体有关的结构元和与背景有关的结构元B,的原因基于一个假设的定义 —仅当两个 或多个物体形成相脱离的（断开的）集合时，这些物体才是可分的。通过要求每个物体至少被一个像素 宽的肯景所围绕。才可保证这一假设的成立。在某些应用中，我们可能对检测某个集合内由1和0组 成的某些模式感兴趣.在这种情况下不需要背景。在这种场合，击中或击不中就简化为简单的腐蚀。 正如前面指出的那样，腐蚀依然是匹配的集合，但检测单个物体时不需要额外的背景匹配。这种简化 的模式检测方案将用于下节讨论的某些算法中。 9.5一些基本的形态学算法 以前面的讨论为基础。我们现在可以考虑形态学的一些实际用途。在处理二值图像时.形态学的主 要应用之一是提取用于表示和描述形状的图像成分。特别是我们要考虑提取边界、连通分量、凸壳和 域的骨架的形态学算法。我们还要探讨几种经常与这些算法相配合使用的预处理或后处理方法（对于区域 填充、细化、粗化和修。在介绍每一种形态学处理时.为了弄清楚每种处理的机理。我们将在这一 小节中广泛地使用“迷你图像”。这些图像以图形的方式显示用1表示阴影区域，而用0表示白色 9.5.1边界提取 表示为B(A)的集合A的边界可以通过先用B对A腐蚀，而后执行A和腐蚀的结果之间的集合 之差得到，即 B(A)=A-(A日B) (9.5-1） 其中B是一个适当的结构元 图9.13说明了边界提取的机理。这幅图像显示了一个简单的二值物体、一个结构元B和使用 式(9.5-1)得到的结果。尽管图9.13(6)中的结构元是最常用的，但它 网绝对不是唯的。例如，使用由1组成的大小为5灯的结构元。将得 @到2-3个像素宽的边界
第9章形态学图像处理 413 a b e d A日B B(A) 图9.13(a集合A:(6)结构元B:(©)B对A的腐蚀：(d由A和其腐蚀间的集合差给出的边界 例9.5用形态学处理提取边界 图914进一步说明了式95D和由1组成的33结构元的用途。如本章中的所有二值图像那样，」 进制值1显示为白色，二进制值0显示为黑色，因此该结构元的元素1也被当做白色来处理。由于所用 结构元的尺寸，图9.14⑥)中的边界宽度为1个像素。 a b 图9.14(a)一幅简单的二值图像，其中1表示白色：(6)使用式(9.5-1)和图9,136)中的结构元得到的结男 9.5.2孔洞填充 一个孔洞可被定义为由前景像素相连接的边界所包围的一个背绿区域。在这一节中，我们将针 对填充图像中的孔洞，开发一种基于集合膨张、求补和交集的算法。令A表示一个集合，其元素是8 连通的边界，每个边界包围一个背景区域（即一个孔洞。当给定每个孔洞中的一个点后，目的就是用 1填充所有的孔洞。 除了在每一个孔洞中对应于X。中的位置给定的点之外，这一点我们已经置为1了，我们从形成 一个由0组成的阵列X。开始（该阵列与包含A的阵列的大小相同）。然后，如下过程将用1填充所有 的洞： X,=(X-⊕B)nAk=1,2.3.… (9.5.2) 其中B是图9.15()中的对称结构元。如果X=X,则算法在选代的第k步结束。然后，集合X 包含所有被填充的孔洞。X,和A的并集包含所有填充的孔洞及这些孔洞的边界。 如果左边不加限制，那么式(9.5-2)中的膨胀将填充整个区域。然而，每一步中与A的交集 操作将把结果限制到感兴趣区域内。这是我们如何制约形态学处理以满足希望特性的第一个例 子。在当前应用中，它被适当地称为条件膨胀。图9.15的余下部分进一步说明了式(9.5-2)的机理 尽管该例子仅有一个孔洞，但在给定每个孔洞区域内的一个点的假设下，很清楚，这一概念可用 于任何有限数量的孔洞。 例9.6形态学孔洞填充。 图9.16(a)显示了一幅由内部带有黑色点的白色圆圈组成的图像。这样的图像可以通过将包含磨光的 球体（如滚珠）的场景用阀值处理分为两个层次而得到。球体内部的黑点可能是反射的结果。我们的目的@ 是通过孔洞填充来消除这些反射。图9.16(a)显示了在一个球体中选择的一个点，图9.16(6)显示了填充一
414 数宇图像处理（第三版） 部分的结果。最后，图9.16()显示了填充所有球体后的结果。因为黑点是背景点还是球体内部的点必须 是已知的，所以完全自动化这一过程要求在算法中建立附加的“智能”。在9.59节中，我们将给出一个 基于形态学重建的全自动方法（见习题9.23）。 ab6ge日 十十 图9.15孔洞填充：(a集合A(显示为阴影)：(o)A的补集：(c)结构元B:(@边界 内的初始点：《（©）-)式(9.52)的各个步骤：(D最终结果[(a)和)的并集】 . ● ⊙ ●● ● o9oo●.● 图9,16(a)二值图像（区域内部的白点是孔洞填充算法的起始点）： (⑥)填充该区域后的结果；（©）填充所有孔洞后的结果 9.5.3连通分量的提取 连通性和连通分量的概念已在2.5.2节中介绍过。从二值图像中提取连通分量是许多自动图像分 析应用中的核心。令A是包含一个或多个连通分量的集合，并形成一个阵列X。(该阵列的大小与包 含A的阵列的大小相同)，除了在对应于A中每个连通分量中的一个点的已知的每一个位置处我们已 置为1（前景值外，该阵列的所有其他元素均为0（背景值。如下选代过程可完成这一目的： X=(X-田B)nAk=12,3.… (9.5-3) 其中，B是一个适当的结构元（如图9.17所示）。当X:=X时，选代过程结束，X包含输入图像中 的所有的连通分量。注意式(9.5-3)与式(9.5-2)的相似性，唯一的差别是用A代替了A。这并不奇怪】 因为此处我们正在寻找前景点，而在9.5.2节的日的是寻找背景点。 图9.17说明了式(95-3)的机理，k=6时即可收敛。注意，所用结 构元的形状在像素间是基于8连通的。如果我们用图9.15中的SE, 它是基于4连通的，朝向图像底部的连通分量的最左侧元素将不会被 园牛品-
第9章形态学图像处理 415 ab6g 图9.17提取连通分量：(a)结构元：(6)包含有一个连通分量的集合的阵列：()在连 通分量的区域中包含一个1的初始阵列：()-()式(95.3)的各个法代步霉 例97使用连通分量检测包装食品中的外来物。 连通分量经常用于自动检测。图9.18(a)显示了一幅含有碎骨的鸡胸X射线图像。经过处理的食品在 包装和/或运送之前能检测出这样的物体是很有意义的。在这种特殊情况下，骨骼的密度使得它们的正常 灰度值与背景不同。这就使得使用单一阔值（阑值处理在3.1节介绍过了，10.3节中将进行更详细的时论） 将骨酪从背景中提取出来成为一件简单的事情。结果是图9.18(b)所示的二值图像。 这幅图中的最显著特征是保留下来的点聚集为物体（骨头），而不是彼此孤立的毫无关系的点。我们 可以确定，只有具有“有效”尺寸的物体才能对经阀值处理的图像进行腐蚀后而保留下来。在这个例子 中，我们将“有效”尺寸的物体定义为：使用元素为1、大小为5×5的结构元室使图像后保留下来的 何物体。图9,18(@中显示了腐蚀的结果。下一步是分析保留下来的物体的尺寸。我们通过提取图像中的 连通分量来标记（识别这些物体。图9.18（④中的表格列出了提取的结果。总共有15个连通分量.其中4个 尺寸较大。这足以确定包含在原图像中的重要的不希望的物体。如果需要，使用第11章讨论的技术进 步描述其特性（比如物体的形状）是可能的。 连通分量 图9.18 (®)含有醉骨的鸡肉X射线图像：()经阀值处理后的图像 (@)使用元素为 大小为5x的结构元腐蚀后的图像：(@图（©）的连通分量中的像素数（图像由 NTB Elektronische Geraete GmbH.Diepholz.Germany,www.ntbxray.com)