第9章形态学图像处理 形体与特征，面客与肢体，我与兄弟如此相像，以至于人们经常 把我当做他，总是把我们的身份搞混 一享利·桑布鲁克·利，《科克伊尼之颂：双胞胎》 引言 形态学(morphology)一词通常表示生物学的一个分支，该分支主要研究动植物的形态和结构。这 里，我们使用同一词语表示数学形态学的内容，将数学形态学作为工具从图像中提取表达和描绘区域 形状的有用图像分量，如边界、骨架和凸壳等。我们对预处理或后处理的形态学技术也感兴趣，比如 形态学过滤、细化和修剪等。 在下面几节中，我们将建立并说明数学形态学中的几个重要概念。这里介绍的许多概念可在 维欧氏空间E”中用公式表达，然而，我们的兴趣一开始是在二值图像上，这种图像的各个分量是Z 的元素（见2.4.2节）。在9.6节，我们的讨论将扩展到灰度图像。 本章的材料开始从纯粹的输入和输出都是图像的图像处理，转变为输入是图像而输出是从这些 图像中提取属性的处理，在这个意义上1.1节做了定义。像形态学及与其相关概念这样的工具数学基 础的基石，它用来于从图像中提取“内涵”。本书的余下章节中将探讨和应用其他方法。 9.1预备知识 数学形态学的语言是集合论。同样，形态学为大量的图像处理问 题提供一种一致且有力的方法。数学形态学中的集合表示图像中的对 在继续阅读之前.请读者问瓯 下2.4.2节和26.4节的内容 象。例如，在二值图像中，所有白色像素的集合是该图像的一个完整 的形态学描述。在二值图像中，问题中的集合是二维整数空间2的元素（见2.4.2节），在该空间中， 集合的每个元素都是一个多元组（仁维向量），这些多元组的坐标是图像中一个白色（或黑色，取决于 事先的约定)像素的坐标x,)。前一章讨论过的灰度数字图像可以表示为其分量在空间2中的集合 在在这种情况下，集合中每个元素的两个分量提供一个像素的坐标，第三个分量则对应于其离散灰度 值。更高维度空间中的集合可以包含其他的图像属性，譬如颜色和随时间变化的分量 除2.6.4节中基本的集合定义外，集合的反射和平移的概念在形 集合反射操作类似于李间卷积叶执 用得也很广泛。一个集合B的反射表示为B 行的()樱作（见342节
第9章形态学图像处理 403 B={wlw=-b,b∈B 9.1-1 如果B是描述图像中物体的像素的集合（二维点），则B是B中：)坐标被(-x-)替代的点的集合。 图9.1(a)和(6)显示了一个简单的集合及其反射 a b c B 图9.1(@一个集合：(6)该集合的反射：（⊙）距离为z的平移 集合B按照点z=(，)表示为(B),的平移定义如下 (B),=clc=b+z.be B} (9.1-2) 如果B是描述图像中物体的像素集合，则(B),是B中（化y)坐标被(x+,y+)替代的点的集合。 图9.1(c)使用来自图9.1(a)的集合B说明了这一概念 在形态学中集合的反射和平移广泛用来表达基于结构元(SE)的操作：研究一幅图像中感兴趣特 性所用的小集合或子图像。图9.2的第一行显示了结构元的几个例子，其中每一个涂阴影的方块表示 SE的一个成员。如果给定结构元中的一个位置是否是该SE集合的成员没有关系时，该位置用“×， 来标记，表示一个“不关心”条件，如稍后在9.5.4节中定义的那样。除了元素是SE的成员的定 义之外，还必须指定结构元的原点。图9.2中各种SE的原点 由一个黑点指出（尽管将SE的中心放在其重心处是很普进 的.但通常原点的选择是依赖于问题的)。当SE对称且未显 示原点时，则假定原点位于对称中心处 当对图像操作时，我们要求结构元是矩形阵列。这是通 过添加最小可能数量的背景元素（图9.2中所示的非阴影部分） 形成一个矩形阵列来实现的。图9.2第二行中的第一个和最后 一个SE说明了该过程。该行中的其他SE已经是矩形形式。 p 为介绍在形态学中如何使用结构元，我们考虑图9.3 图9.3(a)和(b)显示了一个简单的集合和一个结构元。如前 段提到的那样，计算机实现要求用添加背景元素的方法把A 图92第一行：结构元的例子：第二 也转换为一个矩形阵列。当结构元的原点位于原始集合的边 行：转换为矩形阵列的结构 界上时，背绿边界要大到足以适应整个结构元（这类似于如 元。点表示结构元的中心 ①当对图像燥作时，如图91中的集合。我使用阴影来表示正考虑集合的成员的点（像素），在处理二值图像时。感兴的集合可 为体物定文饮堡白色像素来是示这集合。而其他像东则品示为色术语精茶和？素通布分别用于表示图 651
404 数字困像处理（第三版） 3.42节讨论的空间相关和卷积的填充操作)。在这种情况下，结构元 的大小为3x3,原点位于中心，所以包围整个集合的一个元素的边界 在后面的说明中，我们会添加足够 是足够的，如图9.3()所示。就像在图9.2中那样，必须使用最小可能 的背景点来形成矩形所列，但在含 化图形。我 数量的背景元素填充结构元，使它成为-一个矩形阵列【见图9.3(】 图9.3(a)一个集合（每个阴影方块都是集合的一个元素）：(b)结构元：（⊙）使用背景元素填充集合形成的 个矩形阵列，并且提供了一个背景边界：()矩形阵列形式的结构元：（©）由结构元处理过的集合 假定我们定义一个用结构元B在集合A上的操作如下：通过让B在A上运行，以便B的原点访 问A的每一个元素，来创建一个新集合。在B的每个原点位置，如果B完全被A包含，则将该 位置标记为新集合的一个成员（阴影所示）：否则，将该位置标记为非新集合的成员（非阴影所示）。 图9.3()显示了这一操作的结果。我们看到，当B的原点位于A的边界元素上时，B的一部分将不再 包含在A中，从而排除了B处在中心位置的点作为新集合的成员的可能。最终结果是集合的边界被 腐蚀掉了，如图9.3（©）所示。当我们使用“结构元包含在集合中”这样的术语时，我们明确地指出A 和B的元素完全重叠。换句话说。虽然我们用包含阴影和非阴影的元素阵列来说明A和B,但在确 定B是否包含于A中时，我们只考虑两个集合中的阴影元素。这此概念是下一节内容的基础，因此 在继续学习之前全面理解图9.3中的概念是很重要的。 9.2腐蚀和膨胀 我们通过研究腐蚀和膨胀这两个操作来开始形态学的讨论。这些操作是形态学处理的基础。事 实上，本章中讨论的许多形态学算法都是以这两种原始操作为基础的。 9.2.1腐蚀 作为Z2中的集合A和B.表示为A⊙B的B对A的腐蚀义为 AeB={z1(B),sA}(9.2-1) 表面上，该式指出B对A的腐蚀是一个用z平移的B包含在A中的所有的点z的集合。在下面的讨 论中，假定集合B是一个结构元。式(9.21)是上节末尾讨论的图9.3（©）中的例子的数学公式。因为B 必须包含在A中这一陈述等价于B不与青景共享任何公共元素，故我们可以将腐蚀表达为如下的等 价形式： AeB={zI(B),nA=☑ (9.2-2) 中，如264节所淀义的那样，心是A的补集
第9章形态学图像处理 405 图9.4显示了腐蚀的一个例子。A和B的元素显示为阴影，背景显示为白色。图9.4（心）中的实线 边界是B的原点进一步移动的界限，若超出该界限，则会导致结构元不再完全包含于A中。这样 该边界内的点的轨迹(B的原点位置)就构成了B对A的腐蚀。我们在图94（©）中使用阴影显示了该腐 蚀的结果。记住，腐蚀是简单地满足式(92-1)或式(9.2-2)的z值的一个集合。图9.4(@和()中嘘线 所示的集合A的边界仅供参考，它不是腐蚀操作的一部分。图9.4(d)显示了·个拉长的结构元，图9.4( 显示了该结构元对集合A的腐蚀。注意，原来的集合已被腐蚀为一条直线。 d8 3d4d8 b -sdjA d/8 d/8 图9.4(a集合A:(6)方形结构元B:(c)B对A的腐蚀，如阴影部分所示：()拉长的结构元： (e)用拉长后的结料元B对A的腐蚀。(@)和（©中的线边界是集合A的边界，仅供参考显示 式(92-1)和式(9.2-2)不是腐蚀的唯一定义形式（见习题9.9和习题9.10中另外两种等价的定义形 式)。然而，这些式子较之其他公式具有独特的优点，当把结构元B看成是一个空间模板时（见3.4.1 节)，它们更直观。 刷9.1使用魔仲去除图传的某些分 假设我们希望去掉图95（®）中连接中心区城到边界焊接点的线。使用一个大小为1x11且元素都是】 的方形结构元魔蚀该图像，如图9.5（化）所示。大多数为1的线条都被去除了。位于中心的两条垂直线被细 化了但没有被完全夫除。原因是它们的窗度大干11个俊素。把SE的大小改为15x15.并再次馆蚀 图像，如图9.5()所示，所有的连线都去除了[一种替代的方法是，也可以使用11×11的SE对图9.5o) 的图像再进行腐蚀]。增大结构元的尺寸甚至会消除更大的部件：例如，使用大小为45×45的结构元.可 去除边界的焊接点，如图9.5(d所示 图9.5使用腐蚀去除像中的部件：（®）一幅大小为486x486的连线模板二值图像：(6)一 (d分别使用大小为11x11,15x15和45x45的结构元腐的图像。SE的元素都是1
406 数字图像处理（第三版） 我们从这个例子看到，腐蚀缩小或细化了二值图像中的物体。事实上，我们可以将腐蚀看成是形态 学滤波操作，这种操作将小于结构元的图像细节从图像中滤除（去除）了。在图95中，腐蚀执行了一个“线 滤波”的功能。我们在93节和9.6.3节将会返回到形态学滤波这一概念。 9.2.2膨胀 A和B是Z中的集合，表示为A⊕B的B对A的膨胀定义为 A⊕B={21(B),nA≠⑦ (9.2-3) 这个公式是以B关于它的原点的映像，并且以z对映像进行平移为基础的（见图9.1）。B对A的膨张 是所有位移：的集合，这样，B和A至少有一个元素是重叠的。根据这种解释，式(9.23)可以等价 地写为 A⊕B={z(B,nA1A (9.2-4 与以前一样，我们假定B是一个结构元，A是被膨张的集合（图像物体）。 式(9.2-3)和式(9.2-4)并不是当前所用的膨胀的唯一定义（见习题9.11和习题9.12中两种不同但等 价的定义)。然而，当把结构元B视为一个卷积模板附，前述定义与其他定义形式相比有显著的优 点，这种定义形式更直观。B关于其原点翻转（旋转），然后逐步移动以滑过整个集合（图像）A.这 基本过程类似于3.4.2节中介绍的空间卷积。然而，要记住，膨胀以集合操作为基础，因此是 种非线性操作，而卷积是一种线性操作。 与腐蚀不同，腐蚀是一种收缩或细化操作，膨胀则会“增长”或“相化”二值图像中的物体 这种特殊的方式和粗化的宽度由所用的结构元来控制。图9.6(a)显示了与图9.4中所用集合相同的 合，图9.6(b)显示了一个结构元（在这种情祝下，B=B,因为SE关于其原点对称）。作为参考，图9.6() 中的虚线显示了原始集合，实线显示了一个界限.B的原点进一步移动：，若超出了这一界限，会导致 B和A的交集为空。因此，处在该边界上或该边界内的所有点就构成了B对A的膨胀。图9.6()显 示了一个设计用来实现垂直方向膨胀比水平方向膨张更多的结构元，图9.6（©）则显示了使用这个结构 元讲行能胀的结果 a b c d e d/2 .d A由B d/s i=B d/8 d/8 d d/8 图96(a集合A:(b)方形结构元（黑点表示原点）：(@)B对A的膨账，显示为阴影：(d拉长的结构元 (©)使用这个结构元对A膨账。图（©）和图()中的.点线的边是集合A的边界，仅作为参考而显示 例9.2德的说明 膨彭张的最简应用之一是桥接裂缝。图9.7（显示了与我们研究过的图4.49相同的带有断裂的字符的医 】像，在图4.49中是用低通滤波进行连接的。已知断裂的最大长度为两个像素。图9.76)显示了能够修复这 些断裂的结构元（注意，替代阴影，我们用1表示SE的元素，而用0表示背景：这是因为现在$E被当做