第5章:插值法 对于表1所确定的n+1个基点的插值问题,相应的拉格朗 日插值公式,我们记为L(×),实际就是把插值多项式Pn(×)表为 基函数{×xk=01,…n)的线性组合,其中 x-x l(x)= (x=x) 而且组合系数实际就是诸yoy…yh,因此我们有 Ln(x)=∑y4·l(x) (2) 接下来我们要证明Ln(x)的确是插值多项式,也就是满足η+1个 插值条件。 2.证明Lnx)的确是插值多项式 注意到所有的k(×)都是n次数多项式,所以Ln(x)是次数不 超过n的多项式。再注意到 1()=1/1、yhmy=k 0, when j≠k yk=0…,n 所以我们有
第 5 章：插值法 6 对于表 1 所确定的 n+1 个基点的插值问题，相应的拉格朗 日插值公式，我们记为 Ln(x)，实际就是把插值多项式 Pn(x)表为 基函数{lk(x)|k=0,1,…,n}的线性组合，其中 j n j k j k j j k x x x x l x = = − − = 0 ( ) ( ) ( ) （1） 而且组合系数实际就是诸 y0,y1,…,yn，因此我们有 ( ) ( ) 0 L x y l x k k n k n k = = = （2） 接下来我们要证明 Ln(x)的确是插值多项式，也就是满足 n+1 个 插值条件。 2． 证明 Ln(x)的确是插值多项式 注意到所有的 lk(x)都是 n 次数多项式，所以 Ln(x)是次数不 超过 n 的多项式。再注意到 k n when j k when j k l x k j k j 0,1, , 0, 1, ( ) = = = = 所以我们有
第5章:插值法 7 Ln(x)=∑y4(x) y1(x)+∑yl4(x) yj=0,1, 所以Ln(x)满足插值条件,即Ln()的确是插值多项式 3基函数的性质 定理:对于给定的函数值列表 以及由(1)定义的基函数{k(x),k=0,1…n},我们有 l(x)=1 证明:考虑被插函数为f(x)≡1的特殊的多项式插值问题, 对于给定的插值基点Ⅺ0X1…,Ⅺ,对应的函数值 yoy…yn均为 1,从而相应的拉格朗日插值多项式为 L,(x)=∑1·k(x) 它满足插值条件 L(x,)=∑1:1(x,)=y=1=0,1,…,n 而f(x)三1也是次数不超过n的多项式,也满足插值条件
第 5 章：插值法 7 j n y y l x y l x L x y l x j k n k j k j j j k k j k n k n j k k j 0,1, , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 = = = + = = = = = 所以 Ln(x)满足插值条件，即 Ln(x)的确是插值多项式。 3.基函数的性质 定理：对于给定的函数值列表 k x , 0 x 1 x … n x k y 0 y 1 y … n y 以及由（1）定义的基函数{lk(x),k=0,1,…,n}，我们有 = = 1 0 ( ) 1 k k k l x 证明：考虑被插函数为 f(x) ≡ 1 的特殊的多项式插值问题， 对于给定的插值基点 x0,x1,…,xn，对应的函数值 y0,y1,…,yn 均为 1，从而相应的拉格朗日插值多项式为 = = = 1 0 ( ) 1 ( ) k k n k L x l x 它满足插值条件 L x l x y j j n k k n j k j ( ) 1 ( ) 1, 0,1, ., 1 0 = = = = = = 而 f(x)≡ 1 也是次数不超过 n 的多项式，也满足插值条件
第5章:插值法 0.1.n 由插值多项式的唯性立即推出我们的结论。 4计算表格与算法说明 应该说,对于给定的x求拉格朗日插值多项式的值还是很简 单的,直接按公式计算就成,所以没有太大的价值来研究算法问 题。如果用计算器来计算,我们建议按如下的表格计算。 k x[]Y[k L[kI 0[O]Y[O]]]] L[] 1X[1|Y1] 1] L[2] n X[n] Y[n In L[] 1 首先依次计算基函数I0],[1]…n|k存放基函数k(×)的值。接 下来再依次计算 L[]=Y[o]+[o], LK]=Yk]*k]+Lk-1]k=1,2…,n 5计算基函数值的方法 拉格朗日多项式插值的计算主要是计算基函数的值,作为练习编
第 5 章：插值法 8 f(xk)=yk,k=0,1,…,n 由插值多项式的唯一性立即推出我们的结论。 4.计算表格与算法说明 应该说，对于给定的 x,求拉格朗日插值多项式的值还是很简 单的，直接按公式计算就成，所以没有太大的价值来研究算法问 题。如果用计算器来计算，我们建议按如下的表格计算。 k X[k] Y[k] l[k] L[k] 0 X[0] Y[0] l[0] L[0] 1 X[1] Y[1] l[1] L[2] … … … … … n X[n] Y[n] l[n] L[n] x 1 首先依次计算基函数 l[0],l[1],…,l[n],l[k]存放基函数 lk(x)的值。接 下来再依次计算 L[0]=Y[0]*l[0], L[k]= Y[k]*l[k]+L[k-1],k=1,2,…,n. 5.计算基函数值的方法 拉格朗日多项式插值的计算主要是计算基函数的值，作为练习编