阻尼摆和钟摆的相空间图 图1.7 图1.8 9.D
阻尼摆和钟摆的相空间图
内积空间与希尔伯特空间 ÷内积空间与希尔伯特空间 ÷欧氏空间→线性空间+内积→内积空间 。内积空间+完备性→希尔伯特空间 图6.19，在希尔伯特空间中的夫量加法和 天量乘以标量，可以用通常的方式，正如对 在平常空间中的矢量那样拿想 华 元素的长度（范数） 内积空间特点： 必 两向量夹角与正交 量子系统的运动状态是用希尔伯特空间H 的矢量来表示的。其中，涉及作为波函数 矢量的平方可积函数，相应的复共轭矢量 ,以及线性算符
内积空间与希尔伯特空间 v 内积空间与希尔伯特空间 v 欧氏空间线性空间+内积内积空间 v 内积空间+完备性希尔伯特空间 v 元素的长度（范数） v 内积空间特点： v 两向量夹角与正交 v 量子系统的运动状态是用希尔伯特空间H 的矢量来表示的。其中，涉及作为波函数 矢量的平方可积函数，相应的复共轭矢量 ，以及线性算符
希尔伯特空间 我们可将物理系统的波函数φ1，P2 , φ3，.看作一个集合，如果赋予该 若在矢量空间V定义了内 集合一种空间结构，我们就可以谈 积(a,B)=A（数值) 论物理系统一个态0m与另一个态pn (若PR则A若 之间的“方位”和“距离”。 PG,则AC)并满 希尔伯特空间其实是完备、无限维 足条件： 、 属于复数域的内积空间。内积空 (1)(a,β)=(B,a) 间是在线性空间（矢量空间）中定 (2) 义了两个矢量内积的空间，其中可 以定义模和正交归一。有限维的实 (a,β+Y)=(a,β)+(a,Y) 矢量内积空间是欧氏空间，复矢量 (3)(a,kβ)=k(a,B). 内积空间是酉空间。 (4)(a,a)≥0，当且仅当 任一矢量的完全集可以选取为希尔 a=0时，等式成立，则称 伯特空间的基矢，它相当于几何空 V为内积空间。 间的坐标系
希尔伯特空间 v 我们可将物理系统的波函数φ1，φ2 ，φ3，…看作一个集合,如果赋予该 集合一种空间结构，我们就可以谈 论物理系统一个态φm与另一个态φn 之间的“方位”和“距离”。 v 希尔伯特空间其实是完备、无限维 、属于复数域的内积空间。内积空 间是在线性空间（矢量空间）中定 义了两个矢量内积的空间，其中可 以定义模和正交归一。有限维的实 矢量内积空间是欧氏空间，复矢量 内积空间是酉空间。 v 任一矢量的完全集可以选取为希尔 伯特空间的基矢，它相当于几何空 间的坐标系。 v 若在矢量空间V定义了内 积（α,β）=A（数值）， （若P R，则A R；若 P C，则A C。）并满 足条件： v （1）(α,β)=(β,α) *. v （2） (α,β+γ)=(α,β)+(α,γ). v （3）(α,kβ)=k(α,β). v （4）(α,α)≥0，当且仅当 α=0时，等式成立，则称 V为内积空间。
Hilbert?空间矢量记作H,用符号|平>表示 定义1 Hibert空间中矢量的内积定义为 <w>=HXH=C.即 (a>,b>)=<ab> 它是一个复数，具有完备性 定义2若两矢量和满足(0)=0，则称为)和)正交 若一个矢量集￥，》 满足 =6 矢量，则称) 正交归一系 若对H中的每一个矢量》都有 ）=∑ap） 则称.》为H的完备正交归一系，又称正交基。 Hibert?空间向量由正交基组成。n表示Hibert?空间的维数
v Hilbert空间矢量 记作H，用符号|Ψ>表示 定义 1 Hibert空间中矢量的内积定义为 <ψ|ψ> = H×H＝C ． 即 （|a>，|b>）≡<a|b> 它是一个复数，具有完备性 定义2 若两矢量 和 满足 ，则称为 和 正交 若一个矢量集 满足: 矢量，则称 正交归一系 若对H中的每一个矢量 都有 则称 为H的完备正交归一系，又称正交基。 Hibert空间向量 由正交基组成。n表示Hibert空间的维数 n n n n n n 0 n n m nm 一 n nm
量子态与密度算子 1)量子态 ÷任意单量子位的态矢记为：0+B),0),)为基矢， a+8 =1 ÷n个量子位的态是2n维空间的一个矢量 其基为).i=0.1,2"-1)故n个量子位的态矢可表示为 a习af=1 。量子系统的纯态：可以用单一态矢表征的量子态称为纯态 ·量子系统的混态：无法用单一态矢表征的量子态成为混态。用 概率统计描述混态。记为p,)P}.p,》是纯态，P是系统处于p,) 的概率。有 ∑P,=1
量子态与密度算子 1 )量子态 v 任意单量子位的态矢记为： , , 为基矢, v n个量子位的态是2n维空间的一个矢量 v 其基为 故n个量子位的态矢可表示为 v 量子系统的纯态：可以用单一态矢表征的量子态称为纯态 v 量子系统的混态：无法用单一态矢表征的量子态成为混态。用 概率统计描述混态。记为 . 是纯态， 是系统处于 的概率。有 0 1 0 1 2 2 1 { , 0,1,...,2 1} n i i 2 1 2 0 , 1 n i i i i i { , } i i p i p i 1 i i p i