2) 密度算子 密度算子又称投影算子，记为p 定义：p=)(,用密度算子区分纯态与混态 密度算子满足厄米性、正定性、等幂性和么迹性。 所谓纯系综是指可用一个波函数描写的无限多量子 体系，而混合系综则不能用同一波函数描写。为了 得到综合测量意义上的系综平均，我们应当在每 一 个纯系综内作量子力学平均后，再将此平均根据每 个纯态在混合态中占有的概率加权平均。求解这类 平均过程，就发展出与波函数的概率密度有关的密 度算符与密度矩阵
2） 密度算子 密度算子又称投影算子，记为 定义： ，用密度算子区分纯态与混态 密度算子满足厄米性、正定性、等幂性和么迹性。 所谓纯系综是指可用一个波函数描写的无限多量子 体系，而混合系综则不能用同一波函数描写。为了 得到综合测量意义上的系综平均，我们应当在每一 个纯系综内作量子力学平均后，再将此平均根据每 个纯态在混合态中占有的概率加权平均。求解这类 平均过程，就发展出与波函数的概率密度有关的密 度算符与密度矩阵。
统计系综 ÷我们通常采用如下所述的系 综表示的概念，这是由吉布 斯(1903年)所入的：我 们可以想象有大量的性质相 同的体系，但是在某个给 的时刻，它们具有不同的 形与速度，它们的差别不仅 是含组 无限小，而且也许甚至包 切想象的位形与速度的 合 (普里戈金：《非平衡态统 计力学》) 普里戈金，I
统计系综 v 我们通常采用如下所述的系 综表示的概念，这是由吉布 斯（1903年）所引入的：我 们可以想象有大量的性质相 同的体系，但是在某个给定 的时刻，它们具有不同的位 形与速度，它们的差别不仅 是无限小，而且也许甚至包 含一切想象的位形与速度的 组合。 v （普里戈金：《非平衡态统 计力学》）
投影算符与几率密度分布 投影算符p的行为与经典统计力 即： 学中的几率密度分布函数p( 用密度算符p=w><代替系 q,p,t)类似。在经典统计力学中 综状态函数p（q,p,t); 系综密度分布函数p(q,p,t) 给出了有关系综状态的最详尽信 保留p(q,p,t) 的运动方程形 息；同样，密度算符ρ也给出了 式，即： 量子系统状态的最详尽信息。 用apl=-[p,l代替aplt=- 通过经典统计力学形式的量子论 与经典统计力学的对比，我们可 [p,H]; 以这样理解量子论：用量子论的 用归一化条件(p()=1代替归 海森伯形式将经典统计力学的系 一 化条件p(q,p,t)d2=1; 综状态函数p加以量子化，就由 经典统计力学过渡到量子论。 用平均值公式G=tr(Gp)代替平 均值公式G=Gpd2
投影算符与几率密度分布 v 投影算符ρ的行为与经典统计力 学中的几率密度分布函数ρ（ q,p,t）类似。在经典统计力学中 ，系综密度分布函数ρ（q,p,t） 给出了有关系综状态的最详尽信 息；同样，密度算符ρ也给出了 量子系统状态的最详尽信息。 v 通过经典统计力学形式的量子论 与经典统计力学的对比，我们可 以这样理解量子论：用量子论的 海森伯形式将经典统计力学的系 综状态函数ρ加以量子化，就由 经典统计力学过渡到量子论。 v 即： v 用密度算符ρ=|ψ>•<ψ|代替系 综状态函数ρ（q,p,t）； v 保留ρ（q,p,t）的运动方程形 式，即： v 用∂ρ/∂t=-[ρ,Ĥ]代替∂ρ/∂t=- [ρ,H]； v 用归一化条件tr(ρ(t))=1代替归 一化条件∫ρ（q,p,t）dΩ=1； v 用平均值公式Ğ=tr(Gρ)代替平 均值公式Ğ=∫GρdΩ
量子论表象是等价的 厄密算符都联系着本征态，并有实数的本征值；属于一个厄密算符的两个不同本征 值的本征态矢是彼此正交的；厄密算符的线性保证了态叠加原理；一个厄密算符的 本征矢构成一个完全系，任意厄密算符的本征矢的完全系能被选为基矢；幺正变换 保证了算符的厄密性质。泡利在1933年证明了不存在满足E,t对易关系的厄密算符 t=(h/2πi)a/aE,否则就不可能有离散能谱。这是量子力学中时间与空间不对称 的证据。 量子论的算符形式是玻恩和维纳发展起来的矩阵力学的推广形式，狄拉克和约尔丹 从中发展出表象变换理论，证明了各种量子论表象的等价性。后来，冯·诺依曼用 希尔伯特空间的厄密算子的算法来表述量子力学，并证明了矩阵力学与波动力学的 函数空间的同构性。量子力学存在数学表述的缺陷，在一般坐标系中的量子化程序 并没有完美的答案，因为有些正则坐标或动量不具有量子力学算符的意义，我们要 尽量使用笛卡尔坐标系。另外，引入非厄密哈密顿算符也有可行性。 在量子力学中，测量仪器类似于牛顿力学与相对论中的“参照系”。对于一个未知 事物，我们用不同的探测器与之发生作用，它就显示不同的表现。微观状态对于人 造仪器的依赖性，一点不影响它的客观性，因为人以及仪器最终是自然的产物，而 且自然条件可能类似于仪器内部的功能约束条件，如同人工池塘类似于自然湖泊
量子论表象是等价的 v 厄密算符都联系着本征态，并有实数的本征值；属于一个厄密算符的两个不同本征 值的本征态矢是彼此正交的；厄密算符的线性保证了态叠加原理；一个厄密算符的 本征矢构成一个完全系，任意厄密算符的本征矢的完全系能被选为基矢；幺正变换 保证了算符的厄密性质。泡利在1933年证明了不存在满足E,t对易关系的厄密算符 t=(h/2πi)∂/∂E ，否则就不可能有离散能谱。这是量子力学中时间与空间不对称 的证据。 v 量子论的算符形式是玻恩和维纳发展起来的矩阵力学的推广形式，狄拉克和约尔丹 从中发展出表象变换理论，证明了各种量子论表象的等价性。后来，冯·诺依曼用 希尔伯特空间的厄密算子的算法来表述量子力学，并证明了矩阵力学与波动力学的 函数空间的同构性。量子力学存在数学表述的缺陷，在一般坐标系中的量子化程序 并没有完美的答案，因为有些正则坐标或动量不具有量子力学算符的意义，我们要 尽量使用笛卡尔坐标系。另外，引入非厄密哈密顿算符也有可行性。 v 在量子力学中，测量仪器类似于牛顿力学与相对论中的“参照系”。对于一个未知 事物，我们用不同的探测器与之发生作用，它就显示不同的表现。微观状态对于人 造仪器的依赖性，一点不影响它的客观性，因为人以及仪器最终是自然的产物，而 且自然条件可能类似于仪器内部的功能约束条件，如同人工池塘类似于自然湖泊
量子力学的经典极限是经典统计力学 在一般的统计力学著作中，把所谓的“等几率假设”作为 经典统计力学的基本假设。例如： 李政道：“我们可以假设它（指系统）在每个态上的几率 是相等的， (这)是统计力学平衡态的唯一基本假设 《统计力学》 王竹溪：“我们作一基本假设：在求一个孤立系在平衡态 的宏观量时，系综的分布函数ρ在全部能量曲面上是常数 统计物理学导论》 但是 “等几率假设”只是物理系统运动方程的特殊形式 ,而不是其普遍形式。如果要看出经典统计力学与量子论 之间的内在联系，必须像一般逻辑完备性的物理学理论体 系那样把经典统计力学的基本假设建立在系综运动方程的 普遍形式的基础上，而不是建立在“等几率假设”的基础 66 等几率假设”其实可以从相空间的刘维定理和特定的初 始条件及平衡条件下，从系综运动方程导出微正则分布中 延伸出来
量子力学的经典极限是经典统计力学 v 在一般的统计力学著作中，把所谓的“等几率假设”作为 经典统计力学的基本假设。例如： v 李政道： “我们可以假设它（指系统）在每个态上的几率 是相等的，……（这）是统计力学平衡态的唯一基本假设 。 ”——《统计力学》 v 王竹溪： “我们作一基本假设：在求一个孤立系在平衡态 的宏观量时，系综的分布函数ρ在全部能量曲面上是常数 。 ”——《统计物理学导论》 v 但是， “等几率假设”只是物理系统运动方程的特殊形式 ，而不是其普遍形式。如果要看出经典统计力学与量子论 之间的内在联系，必须像一般逻辑完备性的物理学理论体 系那样把经典统计力学的基本假设建立在系综运动方程的 普遍形式的基础上，而不是建立在“等几率假设”的基础 上。 v “等几率假设”其实可以从相空间的刘维定理和特定的初 始条件及平衡条件下，从系综运动方程导出微正则分布中 延伸出来