中国石油大学（华东）：《自动控制原理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 线性系统的状态空间综合法

八、能控与能观测标准形 1、能控标推形 个单输入系统 X=AX+Bu 如果其A,B矩阵具有如下形式 0 0 0 0 0 0 000 A B 0 0 0 n-1 一[n-2 则系统状态一定是能的

则系统状态一定是能控的 。 如果其 ， 矩阵具有如下形式 一个单输入系统 能控标准形 八 能控与能观测标准形                 =                 − − − − = = + − − 1 0 0 0 B 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A A B : X AX B u 1. . 1 2 1            an an an a 八、能控与能观测标准形 1、能控标准形

(1)证明如下: 0 0 0 0 0 0 0 0 000 0 0 AB=: 0 00 1 一an-“n-1n-2 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AB= : : 0 0 0 1 -an-an1-an-2…-a1-a1

                =                 − − =                  −                − − − − =                 =                 − =                                 − − − − = − − − − 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A B 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 AB 1                            a a a a a a a a a a a a a n n n n n n （ ）证明如下：

0 0 0 0 0 0 0 A3B=: 0 0 0 n-2 0 0 U1- 2 2 -a2+2a1a2-a 3

                  =                     − + − − − =                 − −                 − − − − = − − 3 2 1 1 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A B                a a a a a a a a a a an an an a

0000 000 1a1 rank00…1 2|=n 1 a 3 n-1 因此,系统的状态完全能控。 定理:若n维单输入线性定常系统的状态完全 能控,则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及 控制矩阵变换为能控标准形

矩阵变换为能控标准形。 控 则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及控制 定 理 若 维单输入线性定常系统的状态完全能 因 此 系统的状态完全能控。 , : n , n 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 rank 1 2 3 1 2 1 =                     n−              定理：若n维单输入线性定常系统的状态完全 能控，则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及 控制矩阵变换为能控标准形

(2)能控标准形的求取法去 首先求P1=00…1BAB A B A 然后求P= PA 最后求得 I= PAP-I B= PB

   B PB A PAP P P P P P 0 0 1 B AB A B 2 1 -1 1 1 1 1 1 -1 n-1 1 = =             = = − 最后求得 然后求 首先求 （ ）能控标准形的求取方法 n A A   