复共轭回转面的理论及其应用

D01I:10.13374/i.issn1001053x.1981.04.003 北京钢铁孿院学报 1981年第4期 复共轭回转面的理论及其应用 冶金机械教研室秦念祖 计算机应用室林学福 工程图学教研室马香峰 本文是在回转曲面的共轭回转面如何确定的基础上，提出并解决了共轭回转面 的再一次共轭的回转面的确定问题。在图解时应用了“旋转换面综合投影变换 法”，把直线变换成一条双曲线。这样，对于任意回转面只要能给出它的法线就可 以很方便地作出它的复共巍回转面。文中给出了基本儿何体（圆柱、圆锥、弧锥） 的复共轭回转面的图解表示及其解析公式，并用复共轭回转面的理论对斜轧生产中 辊型设计，加工，修磨，以及轧机操作调整后各个几何参数的变化对产品几何形状 的影响进行了样細的分析。 一、前 言 在斜轧生产中，由于轧件轴线与轧辊轴线均成一定大小的交叉角，所以辊面实际上是轧 件回转表面的共轭曲面。根据不同的轧件和轧制过程中不同的变形情况以及交叉轴之间交叉 角α和最短距离A等参数的变化，确定了与轧件密切接触的辊面的几何尺寸。 生产实际中的例子是很多的，诸如钢管斜轧矫直机，无缝钢管穿孔机、轧管机以及品种 繁多的螺旋斜轧等的辊型都是这样。 在如何确定轧辊辊型曲面这个问题上，我们曾先后提出了包络球面法，垂直于轧辊轴线 的截面法，以及辊型的剖线法等图解及解析的方法。有了这些手段，即使是比较复杂、要求 比较精密的辊型，我们也可以借助于电子计算机而获得令人满意的结果。 随普对斜轧辊型曲面研究的深入，我们发现生产中还有一系列问题尚待解决，如象在产 品规格不变的情况下，磨损了的轧辊应如何修磨以保证再轧时对轧件形状和尺寸的要求，又 如在生产过程中如何调整各种参数（交叉角、辊距、导板高度、前后喇叭口等等）以获得满 意的产品，再如在生产不同的规格产品时对同一辊型利用调整参数的方法究竞有多大的适应 范围。这些都是实际生产中所存在的问题，有待我们去研究解决。 从几何的角度来看，前一个问题即根据产品来确定辊型曲面就是求交叉轴的共轭回转曲 面的问题，而后一类问题即辊型的修磨、调整等等可以说是求共轭回转曲面的再次共轭回转 曲面（今后简称为“复共轭回转曲面”）的问题。这类问题的解决势必会对扩大轧机、矫直 机等设备的适用范围、提高产品质量，便于修磨，调整等提供理论依据。此外，复共轭回转 曲面作为“轧件运动的几何空间”可以为使用电子计算机控制斜轧生产提供数学模型。因 此，复共轭回转面的研究不但在理论上而且在生产实际中都将具有深远的意义，它的发展和 应用必将对斜轧生产和机械加工产生良好的效果。 23

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 复共扼回转面的理论及其应用 冶金 机械 教研 室 秦 念祖 计 算 机 应 用 室 林 学 福 工 程 图学教研 室 马 香峰 本 文是在 回 转 曲面 的共扼 回转 面 如 何 确定 的墓 袖 上 ， 提 出并解决 了共辘 回 转 面 的再一 次共辘 的 回 转 面 的 确 定 问题 。 在 图 解 时应用 了 “ 旋 转换 面 综合 投 矛 变换 法” ， 把直 线 变换成一 条双 曲线 。 这 样 ， 对 于 任 意回 转 面 只 要 能给 出它 的法 线就 可 以很 方便 地作 出它 的复共扼 回转 面 。 文 中给 出 了墓 本几何 体 画柱 、 圆锥 、 弧锥 的 复共垅回转 面 的 图解表示及 其解 析公 式 ， 并用 复共扼 回 转 面的理 论对 料轧生产 中 棍型 设计 ， 加 工 ， 修磨 ， 以及 轧机操作调 整后 各 个几何 参数 的 变化对产 品几 何 形 状 的形 响进行 了样 细 的分 析 。 前 言 在 斜 轧生产 中 ， 由于 轧件 轴线 与轧辊轴 线 均成一定 大 小的交 叉 角 ， 所 以 辊面 实际上是 轧 件 回 转 表面的共 辆 曲面 。 根 据 不同 的 轧件和 轧 制过程 中不 同 的 变形情 况 以 及交 叉轴之 间交 叉 角 和 最短距 离 等 参数的 变化 ， 确定 了与 轧件密 切 接触 的 辊 面 的几 何尺 寸 。 生 产实际 中的 例子 是 很 多的 ， 诸 如 钢 管斜 轧矫直机 ， 无 缝钢管 穿孔 机 、 轧管机 以 及品 种 繁 多的 螺旋斜轧等的 辊 型都是 这样 。 在如 何确定 轧辊辊型 曲面 这个问 题上 ， 我 们 曾先后 提 出了包络 球面 法 ， 垂 直于 轧辊轴线 的 截面 法 ， 以 及辊型 的 剖线 法 等图解及 解析的方法 。 有了这些 手段 ， 即 使是 比较复杂 、 要求 比较精密 的辊型 ， 我们 也可 以借 助于 电子 计算机而 获得令 人满 意 的 结果 。 随 着对斜轧辊型 曲面 研究的 深 入 ， 我 们发现生产 中还 有一 系列 问题 尚待 解决 ， 如 象在产 品 规 格不变的情况 下 ， 磨损 了的 轧辊应 如何修 磨 以 保证再 轧时对 轧件形状 和尺 寸的 要求， 又 如 在生产过程 中如何调 整各种 参数 交 叉 角 、 辊距 、 导 板 高度 、 前后 喇 叭 口 等等 以 获得满 意的 产品 ， 再如 在生产 不同的 规 格产品 时对 同一辊型利 用调 整参数 的方 法究竟有多大 的适应 范 围 。 这些都是实际生 产 中所 存在 的 问题 ， 有待 我 们去研究 解决 。 从几 何 的 角度 来看 ， 前一 个问 题 即 根 据产品 来确定辊型 曲面就 是求交叉 轴的共扼回转曲 面 的 问题 ， 而后 一 类 问题即辊型 的修 磨 、 调 整等等可 以说是求共扼 回转 曲面的 再次共辘回转 曲面 今后 简称 为 “ 复共扼回 转 曲面” 的 问题 。 这 类问题的 解决 势必 会对 扩大 轧机 、 矫直 机等设 备 的适 用 范 围 、 提 高产品 质 量 ， 便 于修磨 ， 调 整等提供理论依据 。 此 外 ， 复共拢回转 曲面 作为 “ 轧件运 动 的 几 何 空 间 ” 可 以为使 用 电子 计算 机 控 制斜轧生产提供数学模型 。 因 此 ， 复共辊 回 转 面 的 研究 不但 在 理论上而且在生产 实际 中都将具有深 远的 意义 ， 它 的 发展 和 应 用 必将对 斜轧生产和 机械加 工产生 良好 的 效果 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．04．003

关于如何确定共轭回转面的问题，可参考作者的《钢管斜轧穿孔机辊型设计几何基础》 一文，本文将着重讨论复共轭回转面的问题。研究的方法是先从图解入手，这样比较形象， 直观、再在此基础上推导出解析公式，使之具有普遍意义。因为斜轧产品一般均为由圆柱、 圆锥、弧锥（特例是球）等基本形体组合而成，所以我们先从这些基本形体来进行研究。 二、圆柱面的复共轭回转面 1.图解法 已给定圆柱面直径为D(半径为R),两轴线之间最短距离为Ao,交叉角为α。。 将圆柱轴线取成侧垂线位置，根据已给参数利用包络球面法即可作出园柱面的共轭回转 面S。的正面投影如图1所示（因为是对称的，只画出一半）。 Sa 图1 如果两轴线间最短距离由A,变为A!,交叉角也由α，变为α：（也可以只改变其中一个）， 那么与圆柱共轭回转面S。共轭的曲面将不再是原来的圆柱面。 为求出其复共轭回转面S:可以在垂直S,轴线的方向设一新的投影面W:,根据尺寸A1 画出S:轴线在W:面上的投影。该轴线的另一投影则应根据α1在第二个新投影面H:上画出 (见图2)。 轴线位置确定以后，仍可用求一系列接触点的方法求出接触线，由接触线绕新的轴线回 转就可以得到与S,共轭的回转面S!。 具体作图步骤如下：，(1)在H:面上将新轴O:X1。自交叉点O,起等分（为使图形清晰 作图简便，可使等分点在X:轴上的投影与X,轴上原来的等分点相等。(2)任取一等分点 q1,沿O,X,方向投至W,面上的O:Y,轴上的q”点。（3)在W:面上，以O为圆心将q:”旋 转至q:"。（4)沿O:Y:轴方向将q1"投回原投影面V并利用1。之长度取定qi。'点。 (5)以g。为圆心作与S,相切的圆，得切点K,'。(6)将K:。'点沿OX轴方向投回到 W:面上的K:,”点。（7)以O为圆心将K:。"旋转至0g"线上得K”点。（8)将K"点 沿O:X:轴方向投回H:面上，利用1，之长度取定K:点。K"和K点就是S,与S,的一个接 点K,在W:和H:面上的投影。（9)使K:绕O:X,轴旋转便得到S:面外形上的两个点。如 此重复作图就能找到一系列这样的点，用曲线板光滑连接起来就得到了S:面在H:上的外形 线。 24

关于如 何确定共辘回转面的 问题 ， 可 参考作者的 《钢管斜轧穿孔机辊型设计几 何基 础》 一文 ， 本文将着重讨论复共扼回转面的 问题 。 研究的方 法是 先从图解入 手 ， 这样 比较形象 ， 直观 、 再在此 基础 上推 导 出解析公式 ， 使之 具有普遍 意义 。 因为斜轧产品 一般均为由画柱 、 圆 锥 、 弧 锥 特例是球 等基 本形体组合而成 ， 所 以我们先从这些基 本形体来进行研究 。 二 、 圆 柱面 的复共扼 回 转面 圈解 法 已给定圆柱面 直径 为 半径 为 ， 两 轴线 之 间最 短距 离为 。 ， 交叉角为 。 。 将圆柱轴线取 成侧垂线位 置 ， 根据 巳给 参数利 用 包络 球面 法 即可作 出园柱面 的共 辘回转 面 。 的正 面投影如图 所示 因为是对称 的 ， 只 画 出一半 。 不 砌 峨 ， 女足共一一子二斗一一，叫熟一雀架牙一 一 山 耘卜中尸盆入一一八，，一甲‘ 一一 ，声公曦味州 ， 日 刃、 、 、 厂 一 晰， ‘ 一 一 写二二二二二七二口二二二亡二二二二二二二盆二二二亡二 巴二二二二二二二二‘ 二卜一孟知勺 卜哈 夕 丫 一 一茸八令 、 、 、 比 ’ 卜 丫山尹 ‘ 洲 、 阅 如果两 轴线 间最短距 离由 。 变为 ， 交 叉角也 由 。 变为 也可 以 只改 变其 中一 个 ， 那 么 与圆柱共 辘回 转面 。 共扼的 曲面 将不再是原来的 圆柱 面 。 为求出其复共扼 回 转面 可 以在垂 直 。 轴 线 的方 向设一新 的投影面 ，， 根 据尺 寸 画 出 轴线在 面上 的投影 。 该 轴线 的 另一投 影则应 根据 在 第二个新投影面 上 画 出 见 图 。 轴线位置确定 以后 ， 仍 可用 求一系列 接触点 的方 法求出接触线 ， 由接触线 绕新 的轴线 回 转就可 以 得到 与 。 共扼的 回转面 ，。 具 体作图 步骤 如下 在 面上 将新轴 ， 。 自交叉点 起 等 分 为使 图形清晰 作图简便 ， 可使 等分点 在 ，轴上 的 投影与 。 轴上原 来的 等分点 相等 。 任取一 等分点 ‘ ， 沿 方 向投至 面上的 轴上的 ‘ “ 点 。 在 、 面 上 ， 以 为圆心 将 ‘ 扩 旋 转至 ‘ 。 扩 。 沿 轴 方 向将 ‘ 。 护 投回 原投 影面 并 利用 。 之 长 度 取 定 ‘ 。 尹 点 。 以 。 尹 为圆心作与 。 相切 的 圆 ， 得切 点 。 尸 。 将 。 了 点沿 轴方 向投回 到 面上的 ‘ 。 扩 点 。 以 为圆心 将 ， 。 介 旋 转至 ‘ 尸 线 上得 ‘ 护 点 。 将 ‘ 扩 点 沿 轴方 向投回 面 上 ， 利用 之长度取 定 点 。 “ 和 ‘ 点 就是 ， 与 。 的一个接 点 在 和 面上 的投影 。 使 ‘ 绕 轴旋 转便得 到 面外形上 的 两个点 。 如 此重复作图就能找到一系列这样 的点 ， 用 曲线 板光 滑连 接起来就得 到 了 ，面在 上的外 形 线

(V) (Wi) }Z(Z:) 0 q (H) 图2 2.解析法 原已推出以ω。为参数的圆柱共轭回转面S。的参数方程为： x=A tgosco+Ro sina sin (1) sinao =(o8a, .)vi-sina,sin20 (2) 因为接触点K:亦是S面上的点，所以也可以用上式来表示接触点K:旋转后的投影 K。'.(在V面上)在O。X。Z,坐标系里的坐标。 接触点K:在W面的O。X。Y,坐标系中的投影K,"的坐标由图2中可以看出是 Z,=Z0C0801 (3) y j=zo sin (4) 其中①，是新的参变量。为找出其关系式，让我们来分析一下S。的法线。 25

烈 乙 一一二执尸 一 火、 “ 〔 二 权 、 、 娜析 法 原 巳推 出以。 。 为参数的 圆柱共辘回 转面 。 的 参数方程为 人达些业 。 。 。 。 。 。 滋 。 。 滋 。 。 任 。 ‘一 了 。 。 － 一 找 。 刀 。 产 亿 一 “ 。 ， 。 因为接触 点 亦是 。 面 上的 点 ， 所 以也 可 以 用 上 式 来表 示接 触 点 旋 转后 的 投影 ‘ ，， 在 面上 在 。 。 。 坐 标 系里 的 坐标 。 挽触点 在 面 的 。 。 。 坐标 系 中的 投影 ‘ “ 的 坐 标 由图 中可 以看 出是 。 。 日。 。 其中 是新的参变量 。 为找出其关系式 ， 让我们 来分析一下 ，的法线 。 名

我们知道，连接K:。和q:。的直线就是S。面上过K:。'点的法线，该法线的斜率应是 K=-x）=- 1. 1=-dx dy dy (5) dx 将(1)，(2)两式分别对⊙。求导，再代入（5)即得： AocoBao KA.sin 1si in Bin o 1.-+R,sina。co8o。 c0g2①。 sina。in@co8og_(6) C08"0。 A。-R,） c080。 √1-gin2a。sin'oo 经化简整理可得： K=V1-ain2ain2o。 (7) 8ina。ino。 因为S:是回转面，所以其法线势必经过OX。轴上的(x,z)点（见图2）。 从图1中又知道 2g=0,而X。=A。tg①。 ina。 故法线方程式可写成： z=k(x-xo）+z。=-V1-in2ainw(x-Atg@oa） 8ina。8inoo si n ao --1-in'w0x+Aoy1-in2a。sino。 Bin 2ao cos2 (8) Bin ao Bino 如令 vina sin.=p Av1sinao in=q 8ina。inoo Bin 2aocoso 则(8)式可简写成： z=px+q (9) 从图2中可以看出：此法线与曲线L之交点是q:。',而曲线L。是复共轭回转面S!的轴 线经综合投影变换而形成的双曲线，其方程可推导为： 22 x名 Ai-A/tga =1 (10) 将(9)和(10)联立求解即可得出交点q·。'的坐标为： x*=-pqtvpiq-(p:-tgia:)(q:-A:) (11) p2-tgza z*=pX普+q (12) 从图2W:面上可以看出： 0q:"=0gi0"=- A1一=z*=px*+q (13) 0B01 26

我们知道 ， 连接 ‘ 。 ‘ 和 ‘ 。 ‘ 的 直 线 就是 。 面上过 ‘ 。 ‘ 点的法线 ， 该 法线 的 斜率应是 一 ， 将 ， 两式 分别对。 。 求导 ， 再代入 即得 。 哪 。 班 口 。 日 。 。 。 吕。 。 。 。 。 ， 一 ， 一 下 ， 一 丽萨面产 ， 一 一 。 一 止丛一 一 。 冲他吵丝里旦颐亘二 加 一 声 斌 一 颐 “ 名 。 经化简整理可得 二 训 一 滋 。 “ 。 。 班 因为 是 回 转面 ， 所 以 其法线 势必经过 。 轴上的 。 ， 。 点 见图 。 从图 中又 知道 。 ， 而 。 。 傲 仪 。 故法线方程式可写 成 一 。 。 一 训 一 越 ， 。 苗 名。 。 曰 口 。 丝达些江 仪 。 之竺 越旦丛些丝 目 。 。 。 一一二 十 。 亿 一 颐 。 成 。 。 亡 ，。 “ 如令 亿鱿 名 。 苗 名。 。 则 式可简写成 山 ， 。 亿 一 瓦 。 。 。 苗 恶 。 。 。 从图 中可以看 出 此 法线 与曲线 。 之交点是 ‘ 。 尸 线 经综合 投影变换而形成的 双 曲线 ， 其方程 可推 导 为 」二 盆 ， ， 而 曲线 。 是 复共辘 回 转面 的 轴 将 和 。 联立 求解 即可得 出交点 。 尹 的 坐 标为 一 士 亿 盆 ， 一 ， 一 匕 ， 名 一 一 从图 面上可 以看 出 扩 ‘ 护 二 份 日

C0801= A (14) Px普+q 而 ain01=V-co82o1=。 ,。VPx*+q)2-A2) (15) px箭+q 将(14)，(15)代入(3)，(4)式中即可得出接触点在W:面上的投影K”在0，Y。Z。坐 标系中的坐标为： R.)vi-inc) (16) Co80。 1(。 o。-RM1-sma,no(装gA) (17) 08①。 再将此坐标转换到复共轭回转面S:的轴线O,Y,Z1上（在W:面上），因为Z:与Z。轴重合， 故 y1=y」而 z1=A1+z1=A1+ 0，-R,1-ina,no(gg） C080。 (18) 在H:面上接触点的投影K,对O,X,Y:轴的坐标是 X 1=Xo=XJ y:=yI 将此坐标再变换到复共轭回转面S1的轴线O:X1。Y:。上，则可以利用旋转矩阵来求，即 X10 coB a1 ×1co8a1-y,8ina1 (19) sina x I Bin a:+y cos a1 2(z1) to X10 图3 27

’ 日 一 价 而 。 识 一 份 训 朴 “ 一 至 将 ， 代入 ， 式 中 即可得 出接 触点 在 面 上 的 投影 ‘ “ 在 。 。 。 坐 标系 中的 坐 标为 斋氛 橇赫 。 、 ， － 了 、 ，戈 ， 认 一 由 ‘ 。 。 ‘ 。 ， 戈下贾耳万 、 产 ‘工 ︸了户、 ‘、 、产、 产 亿 一 。 。 侧 、产、 朴 一 ‘ 再将此 坐标 转换到复共辘回 转面 的 轴线 上 在 面上 ， 因为 与 。 轴重合 ， 故 ， 而 一 一 喘羲 一 一 · 、 厂面云‘ 而而石百杀丫可 ， 在 面 上 接触点的 投影 ‘ 对 轴的 坐 标是 将此 坐 标再变换到复共扼 回转面 的 轴线 ， 。 。 上 ， 则可 以利 用旋 转矩阵来求 ， 即 、 。 仪 一 跳 仅 工 。 一 且 仪 一 ， 一 成 人 图