注意：通常文献中有两种常用的度规张量：WestCoast约定：guEastCoast约定：8uy=-物理结论和度规张量的选取无关，但某些物理量的正负号将依赖于具体度规张量
注意： 通常文献中有两种常用的度规张量： West Coast 约定 : gµν = 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 East Coast 约定 : gµν = −1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 物理结论和度规张量的选取无关，但某些物理量 的正负号将依赖于具体度规张量。 11/47
逆变失量内积为x·y二1Buy(）(x0 xl x2X= xoyo-x.y特例：X·x=(0)2-x=(ct)2-x四矢量和自身的内积是一个洛伦兹不变量。任意两个四天量的内积都是洛伦兹不变量。47
逆变矢量内积为 x · y = x µ gµνy ν = ( x 0 x 1 x 2 x 3 ) 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 y 0 y 1 y 2 y 2 = x 0 y 0 −⃗x · ⃗y 特例： x · x = (x 0 ) 2 −⃗x 2 = (ct) 2 −⃗x 2 四矢量和自身的内积是一个洛伦兹不变量。任意 两个四矢量的内积都是洛伦兹不变量。 12/47
虽然我们可以使用逆变失量做计算，但每次都要引入度规张量，这太麻烦了。为了简化计算，我们引入了协变失量。其定义如下：Xμ= (x°; -x) = (ct; -x)注意：上式中的负号：协变指标永远写作为下标。四失量内积此时可以记作为x.x=Xux=(ct)2-x=guuxxll利用度规张量，可以将协变矢量和逆变矢量之间转化gur'xt= gxyXu三pll=g1347
虽然我们可以使用逆变矢量做计算，但每次都要 引入度规张量，这太麻烦了。为了简化计算，我 们引入了协变矢量。其定义如下： xµ = (x 0 ; −⃗x) = (ct; −⃗x) 注意：上式中的负号；协变指标永远写作为下标。 四矢量内积此时可以记作为 x · x = xµx µ = (ct) 2 −⃗x 2 = gµνx ν x µ 利用度规张量，可以将协变矢量和逆变矢量之间 转化 xµ = gµνx ν , x µ = g µνxν g µν = gµν 13/47
我们定义Kronekerdelta为00100Su=gPgpv00010L它一定是OxHOxy约定：分母中的逆变指标成为分子的协变指标，反之亦然。OxpguvglOxy14/47
我们定义 Kroneker delta 为 δ µ ν = g µρgρν = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 它一定是 δ µ ν = ∂x µ ∂x ν 约定：分母中的逆变指标成为分子的协变指标， 反之亦然。 g µν = ∂x µ ∂xν gµνg µν = 4 14/47
逆变导数：00VOuOx0Oxu协变导数：aaanVOx0Oxu15147
逆变导数： ∂µ = ∂ ∂x µ = ( ∂ ∂x 0 ; ∇⃗ ) 协变导数： ∂ µ = ∂ ∂xµ = ( ∂ ∂x 0 ; −∇⃗ ) 15/47