5.3.2函数的极值与最大（小）值 第1课时 函数的极值 课后·训练提升 基础巩固 1.函数x)=3x2lnx-x的极值点的个数是(). A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析：函数x)的定义域为(0，+o), /=6r1-621=2x13x+u ∴.当0<x<2时fx0,当x>2时fx)>0. ∴x=二是x)的极值点 故x)的极值点的个数为1.故选B. 2.已知函数x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的单调递增区间是 () A.(2,3) B.(-0,2)和(3，+0) C.(3,+oo) D.(-0,2) 答案B 解析：因为fx)=6r2+2ar+36,且x)在x=2处有极值， 所以f2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15 所以fx)=6x2-30x+36=6(x-2)x-3) 由fx)>0,得x<2或x>3.故选B. 3.若a>0,b>0,且函数x)=4x3-ar2-2bxr+2在x=1处有极值，则ab的最大值为 (） A.2 B.3 C.6 D.9 答案D 解析fx)=12x2-2ax-2b, x)在x=1处有极值 ∴.f1)=12-2a-2b=0,.a+b=6 又a>0,b>0,.ab≤a+b=9, 当且仅当a=b=3时，等号成立 故ab的最大值为9
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第 1 课时 函数的极值 课后· 基础巩固 1.函数 f(x)=3x 2 -ln x-x 的极值点的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=6x- 1 𝑥 -1= 6𝑥 2 -𝑥-1 𝑥 = (2𝑥-1)(3𝑥+1) 𝑥 , ∴当 0<x<1 2时,f'(x)<0,当 x>1 2时,f'(x)>0. ∴x= 1 2是 f(x)的极值点. 故 f(x)的极值点的个数为 1.故选 B. 2.已知函数 f(x)=2x 3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的单调递增区间是 ( ). A.(2,3) B.(-∞,2)和(3,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,2) 答案:B 解析:因为 f'(x)=6x 2+2ax+36,且 f(x)在 x=2 处有极值, 所以 f'(2)=0,即 24+4a+36=0,解得 a=-15. 所以 f'(x)=6x 2 -30x+36=6(x-2)(x-3). 由 f'(x)>0,得 x<2 或 x>3.故选 B. 3.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x 3 -ax2 -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值为 ( ). A.2 B.3 C.6 D.9 答案:D 解析:f'(x)=12x 2 -2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又 a>0,b>0,∴ab≤ (𝑎+𝑏) 2 4 =9, 当且仅当 a=b=3 时,等号成立. 故 ab 的最大值为 9
4.(多选题)如果函数y=x)的导函数y=x)的图象如图所示，那么以下关于函数 y=x)的判断正确的是( y=f(x) -10 12345 A.在区间(2,4)内单调递减 B.在区间(2,3)内单调递增 C.x=-3是极小值点 D.x=4是极大值点 答案BD 解析：当x∈(2,4)时fx)>0,因此函数y=x)在区间(2,4)内单调递增，故A不正确，B 正确； 由题图知，当x=-3时，函数x)取得极小值，但是函数y=x)没有取得极小值，故C 错误； 当x=4时fx)=0;当2<x<4时，fx)>0,x)单调递增；当x>4时fx)<0,x)单调递 减 因此，x=4是函数y=x)的极大值点.故D正确. 综上，选BD 5.若函数x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点，则a的值为( A.4或5 B.6 C.7 D.8 答案：A 解析fx)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2) 由fx)>0,得x<1或x>2,由fx)<0,得1<x<2,所以函数x)在区间(o,1),(2,+o)上 单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知x)的极大值和极小值分别为 1),2) 若函数x)恰好有两个不同的零点，则1)=0或2)=0，解得a=5或a=4 6.己知函数x)=x2-alnx(a∈R)不存在极值点，则a的取值范围是() A.(-0,0) B.(0,+oo) C.[0,+o) D.(-0,0] 答案D 解析)的定义域是0，+o/)=2x=.若)在区间0，+0)上不存在极值 点，则a≤2x2在区间(0，+o)上恒成立，故a≤0.故选D 7.当函数y=xe取极值时，其图象的切线方程为】 答案y=日
4.(多选题)如果函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,那么以下关于函数 y=f(x)的判断正确的是( ). A.在区间(2,4)内单调递减 B.在区间(2,3)内单调递增 C.x=-3 是极小值点 D.x=4 是极大值点 答案:BD 解析:当 x∈(2,4)时,f'(x)>0,因此函数 y=f(x)在区间(2,4)内单调递增,故 A 不正确,B 正确; 由题图知,当 x=-3 时,函数 f'(x)取得极小值,但是函数 y=f(x)没有取得极小值,故 C 错误; 当 x=4 时,f'(x)=0;当 2<x<4 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当 x>4 时,f'(x)<0,f(x)单调递 减. 因此,x=4 是函数 y=f(x)的极大值点.故 D 正确. 综上,选 BD. 5.若函数 f(x)=2x 3 -9x 2+12x-a 恰好有两个不同的零点,则 a 的值为( ). A.4 或 5 B.6 C.7 D.8 答案:A 解析:f'(x)=6x 2 -18x+12=6(x-1)(x-2). 由 f'(x)>0,得 x<1 或 x>2,由 f'(x)<0,得 1<x<2,所以函数 f(x)在区间(-∞,1),(2,+∞)上 单调递增,在区间(1,2)上单调递减,从而可知 f(x)的极大值和极小值分别为 f(1),f(2). 若函数 f(x)恰好有两个不同的零点,则 f(1)=0 或 f(2)=0,解得 a=5 或 a=4. 6.已知函数 f(x)=x2 -aln x(a∈R)不存在极值点,则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0] 答案:D 解析:f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x- 𝑎 𝑥 = 2𝑥 2 -𝑎 𝑥 ,若 f(x)在区间(0,+∞)上不存在极值 点,则 a≤2x 2 在区间(0,+∞)上恒成立,故 a≤0.故选 D. 7.当函数 y=xe x 取极值时,其图象的切线方程为 . 答案:y=- 1 e
解析：令y'=e+xe=(1+x)e'=0,得x=l, y=所求切线方程为=。 8.己知函数x)=ax2+bx在x=二处有极值，则b的值为 答案-2 解析fx)=2axr+b, 函数x)在x=上处有极值 月)=2a+b=0,得b=-2 9.函数x)=r3+x+1有极值的充要条件是 答案a<0 解析x)=ar3+x+1的导数为fx)=3ax2+1,若函数x)有极值，则fx)=0有解，即 3x2+1=0有解，所以a<0. 10.若函数x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值，则函数x)的图象在x=1处的切线的 斜率为 答案5 解析：，函数x)=(x-2)x2+c)在x=2处有极值fx)=(x2+c)+(-2)×2x ∴.f2)=0,即(c+4)+(2-2)×2×2=0 ∴.c=-4,∴fx)=(x2-4)+(x-2)×2x ∴.函数x)的图象在x=1处的切线的斜率为1)=(1-4)+(1-2)×2=-5， 11.己知函数x)=x3-12x+4,讨论方程x)=m的解的个数 解：由题意知fx)=3x2-12=3x-2)x+2) 当x变化时fx)x)的变化情况如下表所示 -00,-2) （-2,2) 2 2,+0∞) ( 0 0 Kx) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以儿x)瓶小植=2)=-12儿x)值=儿-2)=20 作出函数x)的图象（图略）， 因为x)的定义域是R,所以当m>20或m<-12时，方程x)=m有一个解；当m=20 或m=-12时，方程几x)=m有两个解；当-12<m<20时，方程x)=m有三个解 12.设函数x)=anx+去+x+1,其中a∈R,曲线)y在点(1,1)处的切线垂直 于y轴， (1)求a的值： (2)求函数x)的极值 解(1)--京+2由题意知，由线)在点(I)处的切线斜率为0， 即1)=0，从而a+2=0,解得a=l 2)油(1)知x)=nx+2++16>0x)- 京+=2=*型 2x2 2x2
解析:令 y'=e x+xe x=(1+x)ex=0,得 x=-1, ∴y=- 1 e ,∴所求切线方程为 y=- 1 e . 8.已知函数 f(x)=ax2+bx 在 x= 1 𝑎处有极值,则 b 的值为 . 答案:-2 解析:f'(x)=2ax+b, ∵函数 f(x)在 x= 1 𝑎处有极值, ∴f'( 1 𝑎 )=2a· 1 𝑎 +b=0,得 b=-2. 9.函数 f(x)=ax3+x+1 有极值的充要条件是 . 答案:a<0 解析:f(x)=ax3+x+1 的导数为 f'(x)=3ax2+1,若函数 f(x)有极值,则 f'(x)=0 有解,即 3ax2+1=0 有解,所以 a<0. 10.若函数 f(x)=(x-2)(x 2+c)在 x=2 处有极值,则函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线的 斜率为 . 答案:-5 解析:∵函数 f(x)=(x-2)(x 2+c)在 x=2 处有极值,f'(x)=(x 2+c)+(x-2)×2x, ∴f'(2)=0,即(c+4)+(2-2)×2×2=0, ∴c=-4,∴f'(x)=(x 2 -4)+(x-2)×2x. ∴函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线的斜率为 f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5. 11.已知函数 f(x)=x3 -12x+4,讨论方程 f(x)=m 的解的个数. 解:由题意知,f'(x)=3x 2 -12=3(x-2)(x+2). 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示. x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x)极小值=f(2)=-12,f(x)极大值=f(-2)=20. 作出函数 f(x)的图象(图略). 因为 f(x)的定义域是 R,所以当 m>20 或 m<-12 时,方程 f(x)=m 有一个解;当 m=20 或 m=-12 时,方程 f(x)=m 有两个解;当-12<m<20 时,方程 f(x)=m 有三个解. 12.设函数 f(x)=aln x+ 1 2𝑥 + 3 2 x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直 于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解:(1)f'(x)= 𝑎 𝑥 − 1 2𝑥 2 + 3 2 .由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 0, 即 f'(1)=0,从而 a- 1 2 + 3 2 =0,解得 a=-1. (2)由(1)知 f(x)=-ln x+ 1 2𝑥 + 3 2 x+1(x>0),f'(x)=- 1 𝑥 − 1 2𝑥 2 + 3 2 = 3𝑥 2 -2𝑥-1 2𝑥 2 = (3𝑥+1)(𝑥-1) 2𝑥 2
令fx)=0,解得x1=1,n=含舍去)】 当x∈(0,1)时fx)<0,故x)在区间(0,1)上单调递减； 当x∈(1，+oo)时，fx)>0,故x)在区间(1，+o)上单调递增.故x)在x=1处取得极小 值，极小值为1)=3，x)无极大值 拓展提高 1.己知函数x)=x3-px2-gg的图象与x轴相切于点(1,0)，则x)的( A.极大值为号极小值为0 B极大值为1，极小值为 C.极小值为会极大值为0 D.极大值为号极小值为 答案：A 解析：因为fx)=3xr2-2px-q 所以f1)=3-2p-q=0.① 又1)=1-p-q=0,② 联立①②，解得p=2,q=1. 所以x)=x3-2x2+x,fx)=3x2-4x+1. 令fx)=0,解得x=1或=子 当x<时，)>0，函数x)单调递增 当<x<1时x)0,函数x)单调递减 当x>1时，fx)>0,函数x)单调递增， 所以当x时，函数)有极大值得)=务 当x=1时，函数x)有极小值1)=0. 故选A 2.己知函数x)=ar3+bx2+cx的图象如图所示，且x)在x=xo与x=2处取得极值 则1)+-1)的值一定( A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 答案B 解析fx)=3ax2+2bx+c 令x)=0,则x0和2是该方程的根， 所以0+2=2弛<0，即0. 3a a
令 f'(x)=0,解得 x1=1,x2=- 1 3 (舍去). 当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,故 f(x)在区间(0,1)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故 f(x)在 x=1 处取得极小 值,极小值为 f(1)=3,f(x)无极大值. 拓展提高 1.已知函数 f(x)=x3 -px2 -qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0),则 f(x)的( ). A.极大值为 4 27 ,极小值为 0 B.极大值为 1,极小值为1 3 C.极小值为- 4 27 ,极大值为 0 D.极大值为 4 27 ,极小值为- 4 27 答案:A 解析:因为 f'(x)=3x 2 -2px-q, 所以 f'(1)=3-2p-q=0.① 又 f(1)=1-p-q=0,② 联立①②,解得 p=2,q=-1. 所以 f(x)=x3 -2x 2+x,f'(x)=3x 2 -4x+1. 令 f'(x)=0,解得 x=1 或 x= 1 3 . 当 x<1 3 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 1 3 <x<1 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x>1 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增, 所以当 x= 1 3时,函数 f(x)有极大值 f( 1 3 ) = 4 27 ; 当 x=1 时,函数 f(x)有极小值 f(1)=0. 故选 A. 2.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 的图象如图所示,且 f(x)在 x=x0 与 x=2 处取得极值, 则 f(1)+f(-1)的值一定( ). A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.小于或等于 0 答案:B 解析:f'(x)=3ax2+2bx+c. 令 f'(x)=0,则 x0 和 2 是该方程的根, 所以 x0+2=- 2𝑏 3𝑎 <0,即 𝑏 𝑎 >0
由题图知，fx)<0的解集为(xo,2), 所以3a>0,所以b>0 因为1)+几-1)=2b,所以1)+-1)>0 3.设a<b,则函数y=(x-a)x-b)的图象可能是( D 答案：C 解析y'=K-a(3x-a-2b),令y'=0,解得x1=a,2-a+2因为a<b,所以x1<x2. 由函数y的单调性可得，当x=a时，y取得极大值0： 当x=+时y取得极小值且极小值为负. 3 故选C 4.若函数x)=x2e-a恰有三个零点，则实数a的取值范围是() A(信，+ B(0) C.(0,4e2) D.(0,+o) 答案B 解析：令gx)=x2e,则gx)=2xe+x2e=xe'(r+2) 令g《x)=0,得x=0或x=-2,则gx)在区间(-2,0)上单调递减，在区间(0，-2)，0，+o)上 单调递增 所以gx)大位=g-2)=是gx)准=g0)=0, 又x)=r2e-a恰有三个零点，则0<a<色 5.己知函数x)=lnx+ar2-(a+1)x+1在x=1处取得极小值，则实数a的取值范围 是( A.(-0,1] B.(-0,1) C.(1,+o D.(0,+o) 答案：C 解析x)的定义域是(0，+0) 因为fx)=lnx+-ar2-(a+1)x+1, 所以fx)+ar-(a+1)=a11 当a≤0时，易知不满足题意，故a>0
由题图知,f'(x)<0 的解集为(x0,2), 所以 3a>0,所以 b>0. 因为 f(1)+f(-1)=2b,所以 f(1)+f(-1)>0. 3.设 a<b,则函数 y=(x-a) 2 (x-b)的图象可能是( ). 答案:C 解析:y'=(x-a)(3x-a-2b),令 y'=0,解得 x1=a,x2= 𝑎+2𝑏 3 .因为 a<b,所以 x1<x2. 由函数 y 的单调性可得,当 x=a 时,y 取得极大值 0; 当 x= 𝑎+2𝑏 3 时,y 取得极小值且极小值为负. 故选 C. 4.若函数 f(x)=x2e x -a 恰有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ). A.( 4 e 2 , + ∞) B.(0, 4 e 2 ) C.(0,4e2 ) D.(0,+∞) 答案:B 解析:令 g(x)=x2e x ,则 g'(x)=2xe x+x2e x=xe x (x+2). 令 g'(x)=0,得 x=0 或 x=-2,则 g(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(-∞,-2),(0,+∞)上 单调递增. 所以 g(x)极大值=g(-2)= 4 e 2 ,g(x)极小值=g(0)=0. 又 f(x)=x2e x -a 恰有三个零点,则 0<a<4 e 2 . 5.已知函数 f(x)=ln x+1 2 ax2 -(a+1)x+1 在 x=1 处取得极小值,则实数 a 的取值范围 是( ). A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞) 答案:C 解析:f(x)的定义域是(0,+∞). 因为 f(x)=ln x+1 2 ax2 -(a+1)x+1, 所以 f'(x)= 1 𝑥 +ax-(a+1)= (𝑎𝑥-1)(𝑥-1) 𝑥 . 当 a≤0 时,易知不满足题意,故 a>0