5.3 ,导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 课后训练提升 基础巩固 1.己知函数y=x)的图象如图所示，则导函数y=fx)的图象可能是(). y=f(x) 答案D 解析：，函数x)在区间(0，+o),(-oo,0)上都单调递减，∴.当x>0时fx)<0,当x<0 时fx)<0.故选D 2若x)=ge<a<h,则( A.fa)fb) B.fa)=fb) C.fa)<fb) D.fafb)>1 答案A 解析：由fx)=<0,解得x之e, 2 ,x)在区间(e,+o)上单调递减。 .'e<a<b,∴a)Pb), 3.己知函数x)的导函数fx)的图象如图所示，则函数x)的图象可能是() y=f'(x) A. B C. D 答案C 解析：从fx)的图象可知，令fx)=0,得x=0或x=a(a>0),故函数x)在区间(-oo,0)上 单调递减，在区间(0，α)上单调递增，在区间(a,+oo)上单调递减，故选C 4.若a>0,且x)=x3-ax在区间[1，+oo)上单调递增，则a的取值范围是(). A.(0,3) B.0,3]
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 课后· 基础巩固 1.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f'(x)的图象可能是( ). 答案:D 解析:∵函数 f(x)在区间(0,+∞),(-∞,0)上都单调递减,∴当 x>0 时,f'(x)<0,当 x<0 时,f'(x)<0.故选 D. 2.若 f(x)= ln𝑥 𝑥 ,e<a<b,则( ). A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 答案:A 解析:由 f'(x)= 1-ln𝑥 𝑥 2 <0,解得 x>e, ∴f(x)在区间(e,+∞)上单调递减. ∵e<a<b,∴f(a)>f(b). 3.已知函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可能是( ). 答案:C 解析:从 f'(x)的图象可知,令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=a(a>0),故函数 f(x)在区间(-∞,0)上 单调递减,在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减,故选 C. 4.若 a>0,且 f(x)=x3 -ax 在区间[1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( ). A.(0,3) B.(0,3]
C.(3,+∞) D.[3,+o) 答案B 解析：由题意得，fx)=3xr2-a≥0在x∈[1，+oo)时恒成立，所以a≤(3x2)min=3,又a>0, 所以0<a≤3 5.下列函数中，在区间0，+∞)内单调递增的是( A.y=sinx B.y=xe C.y=x3-x D.y=Inx-x 答案B 解析：B项中y=xey'=er+xer=e'(1+x),当x∈(0，+oo)时y>0,故y=xe在区间(0，+oo) 上单调递增 6若函数=ar3-x)在区间(-，上单调递减，则a的取值范围是( ) A.(0,+o B.(-1,0) C.(1,+o) D.(0,1) 答案A 解析y-a3xr2.1)-3a(x写)(x+写)当x<时，(x写)(x+写<0， 要使=arx在区间(，)上单调递减，只需<0，即a>0 7.(多选题)对任意x∈(0，)，不等式sinxfx)cosxf()x恒成立，下列说法正确的是 A⑧>Vf() B./)-2cos 1:/1) C/<Zcos 1:A1) D)<f() 答案：ABC 解析：构造函数g)=x)cosx,r∈(0，)，则g《x)=cosxf(x)-sinx) ".'sin xAx)<cos x:f(x), ..g(x)=cos xf(x)-sin x:Ax)>0. g)在区间(0，)内单调递增 由gε() 得cos )cos界 即r(目<要f(图，即f() 故D错误
C.(3,+∞) D.[3,+∞) 答案:B 解析:由题意得,f'(x)=3x 2 -a≥0 在 x∈[1,+∞)时恒成立,所以 a≤(3x 2 )min=3,又 a>0, 所以 0<a≤3. 5.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是( ). A.y=sin x B.y=xe x C.y=x3 -x D.y=ln x-x 答案:B 解析:B 项中,y=xe x ,y'=e x+xe x=e x (1+x),当 x∈(0,+∞)时,y'>0,故 y=xe x 在区间(0,+∞) 上单调递增. 6.若函数 y=a(x 3 -x)在区间(− √3 3 , √3 3 )上单调递减,则 a 的取值范围是( ). A.(0,+∞) B.(-1,0) C.(1,+∞) D.(0,1) 答案:A 解析:y'=a(3x 2 -1)=3a(𝑥- √3 3 ) (𝑥 + √3 3 ),当- √3 3 <x<√3 3 时,(𝑥- √3 3 ) (𝑥 + √3 3 )<0, 要使 y=a(x 3 -x)在区间(- √3 3 , √3 3 )上单调递减,只需 y'<0,即 a>0. 7.(多选题)对任意 x∈(0, π 2 ),不等式 sin x·f(x)<cos x·f'(x)恒成立,下列说法正确的是 ( ). A.f( π 3 ) > √2𝑓 ( π 4 ) B.f( π 3 )>2cos 1·f(1) C.f( π 4 ) < √2cos 1·f(1) D.f( π 4 ) < √6 2 𝑓 ( π 6 ) 答案:ABC 解析:构造函数 g(x)=f(x)cos x,x∈(0, π 2 ),则 g'(x)=cos x·f'(x)-sin x·f(x). ∵sin x·f(x)<cos x·f'(x), ∴g'(x)=cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0. ∴g(x)在区间(0, π 2 )内单调递增. 由 g( π 6 )<g( π 4 ), 得 f( π 6 )cos π 6 <f( π 4 )cos π 4 , 即 √3 2 𝑓 ( π 6 ) < √2 2 𝑓 ( π 4 ),即 √6 2 𝑓 ( π 6 )<f( π 4 ), 故 D 错误
由g)g假9)得Icos1<os员 即)>2cos11),故B正确 由g》g(用)得oso 即()>Vf(9故A正确 由gl>g(日)，得1cos1>os 即VI)cosI>),故C正确故选ABC 8.若y=sinx+ax在R上是增函数，则a的取值范围是 答案[1，+o) 解析：由已知得y'=cosx+a≥0对x∈R恒成立，即a≥-cosx对x∈R恒成立 所以a≥1 9.己知函数x)=2x3+ar2+1(a为常数)在区间(-o,0),(2,+o)上单调递增，且在区间 (0,2)上单调递减，则a的值为. 答案6 解析：由题意得fx)=6xr2+2ax=0的两根为0和2，可得a=-6 10.若函数y=ar32ax2-2ax(a0)在区间(-1,2)上单调递增，则a的取值范围 是 答案(0,0) 解析：由已知得，当x∈(-1,2)时y'=ar2-ax-2a=a(x+1)x-2)>0, 当x∈(-1,2)时，(x+1)x-2)<0,.a<0 11.定义在R上的函数x)满足1)=1fx)<2,则不等式x)>2x-1的解集 为 答案(0,1) 解析：令gx)=x)2x+1,则gx)=fx2<0,又g(1)=f1)2×1+1=0,所以当 gx)>g(1)=0时x<1,所以x)2x+1>0,即x)>2x-1的解集为(-o,1) 12.己知函数x)=x3+br2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M-1-1)处的切线 方程为6x-y+7=0. (1)求函数x)的解析式， (2)求函数x)的单调区间 解(1)由x)的图象经过，点P(0,2),知d=2, 所以fx)=x3+bx2+cx+2,fx)=3x2+2bx+c 由x)的图象在，点M-1,-1)处的切线方程为6x-y+7=0,知-6f-1)+7=0 即-1)=1 又f-1)=6,所以有} 3-2b+c=6 -1+b-c+2=1, 解得b=c=-3
由 g(1)<g( π 3 ),得 f(1)cos 1<f( π 3 )cos π 3 , 即 f( π 3 )>2cos 1·f(1),故 B 正确. 由 g( π 3 )>g( π 4 ),得 f( π 3 )cos π 3 >f( π 4 )cos π 4 , 即 f( π 3 ) > √2𝑓 ( π 4 ),故 A 正确. 由 g(1)>g( π 4 ),得 f(1)cos 1>f( π 4 )cos π 4 , 即√2f(1)cos 1>f( π 4 ),故 C 正确.故选 ABC. 8.若 y=sin x+ax 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围是 . 答案:[1,+∞) 解析:由已知得 y'=cos x+a≥0 对 x∈R 恒成立,即 a≥-cos x 对 x∈R 恒成立. 所以 a≥1. 9.已知函数 f(x)=2x 3+ax2+1(a 为常数)在区间(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,且在区间 (0,2)上单调递减,则 a 的值为 . 答案:-6 解析:由题意得 f'(x)=6x 2+2ax=0 的两根为 0 和 2,可得 a=-6. 10.若函数 y= 1 3 ax3 - 1 2 ax2 -2ax(a≠0)在区间(-1,2)上单调递增,则 a 的取值范围 是 . 答案:(-∞,0) 解析:由已知得,当 x∈(-1,2)时,y'=ax2 -ax-2a=a(x+1)(x-2)>0, ∵当 x∈(-1,2)时,(x+1)(x-2)<0,∴a<0. 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,f'(x)<2,则不等式 f(x)>2x-1 的解集 为 . 答案:(-∞,1) 解析:令 g(x)=f(x)-2x+1,则 g'(x)=f'(x)-2<0,又 g(1)=f(1)-2×1+1=0,所以当 g(x)>g(1)=0 时,x<1,所以 f(x)-2x+1>0,即 f(x)>2x-1 的解集为(-∞,1). 12.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象经过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切线 方程为 6x-y+7=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调区间. 解:(1)由 f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2, 所以 f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x 2+2bx+c. 由 f(x)的图象在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1. 又 f'(-1)=6,所以有{ 3-2𝑏 + 𝑐 = 6, -1 + 𝑏-𝑐 + 2 = 1, 解得 b=c=-3
故所求函数解析式为x)=x3-3x2-3x+2. (2)由(1)知fx)=3x2-6x-3. 令fx)>0,得x<1-VZ或x>1+V2; 令fx)<0,得1-V2<r<1+V2 故x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-o,1-V2),(1+V2+o),单调递减区间为(1- VZ,1+V② 13.已知函数x)=ax2+n(x+1). (1)当a=时，求函数x)的单调区间： (2)若函数x)在区间[1，+o)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：()当a=时，x=2+lne+1>-l1, 九w字+ 当fx)>0时，解得-1<x<1; 当fx)<0时，解得x>1. 故函数x)的单调递增区间是(-1,1)，单调递减区间是(1，+∞)， (2)因为函数x)在区间[1，+o)上单调递减， 所以-2amr+≤0对任意x∈l,+m点成立，即a≤2对任意x∈[l,+四) 恒成立 令86)F2x+2x+92 易知当x∈[l,+o)时gx)mm=g)=子则a≤故实数a的取值范围为(o,) 拓展提高 1.己知函数x)的导函数fx)的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等 式一定成立的是( A.f(cos A)≤cosB) B.Asin A)<fcos B) C.fsin A)>fsin B) D.fsin A)>Acos B) 答案D 解析：根据题中图象知，当0<x<1时fx)>0, x)在区间0,1)上单调递增 ,△ABC为锐角三角形 ∴4，B都是锐角，且A+B>
故所求函数解析式为 f(x)=x3 -3x 2 -3x+2. (2)由(1)知 f'(x)=3x 2 -6x-3. 令 f'(x)>0,得 x<1-√2或 x>1+√2; 令 f'(x)<0,得 1-√2<x<1+√2. 故 f(x)=x3 -3x 2 -3x+2 的单调递增区间为(-∞,1-√2),(1+√2,+∞),单调递减区间为(1- √2,1+√2). 13.已知函数 f(x)=ax2+ln(x+1). (1)当 a=- 1 4时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=- 1 4时,f(x)=- 1 4 x 2+ln(x+1)(x>-1), f'(x)=- 1 2 x+ 1 𝑥+1 =- (𝑥+2)(𝑥-1) 2(𝑥+1) (x>-1). 当 f'(x)>0 时,解得-1<x<1; 当 f'(x)<0 时,解得 x>1. 故函数 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)因为函数 f(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 所以 f'(x)=2ax+ 1 𝑥+1 ≤0 对任意 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≤- 1 2𝑥(𝑥+1)对任意 x∈[1,+∞) 恒成立. 令 g(x)=- 1 2𝑥(𝑥+1) =- 1 2(𝑥+ 1 2 ) 2- 1 2 , 易知当 x∈[1,+∞)时,g(x)min=g(1)=- 1 4 ,则 a≤- 1 4 .故实数 a 的取值范围为(-∞,- 1 4 ). 拓展提高 1.已知函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象如图所示,若△ABC 为锐角三角形,则下列不等 式一定成立的是( ). A.f(cos A)<f(cos B) B.f(sin A)<f(cos B) C.f(sin A)>f(sin B) D.f(sin A)>f(cos B) 答案:D 解析:根据题中图象知,当 0<x<1 时,f'(x)>0, ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴A,B 都是锐角,且 A+B>π 2
∴.0<B<A< ∴.0<sim(g-B)<sin 4<L, 即0<cosB<sinA<1,∴.sinA)>cosB), 2.若函数x)=2x2nx在定义域内的一个子区间(k1,k+1)上不是单调函数，则实数 k的取值范围是( A[1) B(1引 C.(1,2] D.[1,2) 答案：A 解析：显然函数)的定义域为0，+o)=4x生=空由>0，得函数)的单 调递增区间为（侵，+0）由fx)<0,得函数x)的单调递减区间为(0，习》因为函数 x)在区间(k1,k+1)上不是单调函数，所以k1<<k+1,解得<k<三又因为x)的定 义域为(0，+0)，所以k-1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k< 3.设x)gx)在区间[a,b]上有意义，在区间(a,b)上可导，且fx)>g'(x),则当a<x<b 时，有( A.fx)>g(x) B./(x)<g(x) C.fx)+g(a)-g(x)+fa) D.Ax)+g(b)>g(x)+Ab) 答案：C 解析：设hx)=术x)g(x),fx)g《x)>0,.h(x)>0,.hx)在区间[a,b]上单调递增 .当a<x<b时，hx)>ha,∴x)gx)Pa)g(a 即x)+g(a)Pgx)+a) 4.已知函数x)=x2+2cosx,若fx)是x)的导函数，则fx)的大致图象是( tf(x) tf(x) t(x) f(x) 答案：A 解析：设gx)=fx)=2x-2sinx, 则g(x)=2-2cosx≥0，所以函数gx)在R上单调递增，即f八x)在R上单调递增.故选 A 5.已知在R上可导的函数x)的图象如图所示，则关于x的不等式xx)<0的解集 为
∴0< π 2 -B<A<π 2 , ∴0<sin( π 2 -𝐵)<sin A<1, 即 0<cos B<sin A<1,∴f(sin A)>f(cos B). 2.若函数 f(x)=2x 2 -ln x 在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( ). A.[1, 3 2 ) B.(1, 3 2 ] C.(1,2] D.[1,2) 答案:A 解析:显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x- 1 𝑥 = 4𝑥 2 -1 𝑥 .由 f'(x)>0,得函数 f(x)的单 调递增区间为( 1 2 , + ∞);由 f'(x)<0,得函数 f(x)的单调递减区间为(0, 1 2 ).因为函数 f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以 k-1< 1 2 <k+1,解得- 1 2 <k<3 2 ,又因为 f(x)的定 义域为(0,+∞),所以 k-1≥0,即 k≥1.综上可知,1≤k<3 2 . 3.设 f(x),g(x)在区间[a,b]上有意义,在区间(a,b)上可导,且 f'(x)>g'(x),则当 a<x<b 时,有( ). A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 答案:C 解析:设 h(x)=f(x)-g(x),∵f'(x)-g'(x)>0,∴h'(x)>0,∴h(x)在区间[a,b]上单调递增, ∴当 a<x<b 时,h(x)>h(a),∴f(x)-g(x)>f(a)-g(a), 即 f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 4.已知函数 f(x)=x2+2cos x,若 f'(x)是 f(x)的导函数,则 f'(x)的大致图象是( ). 答案:A 解析:设 g(x)=f'(x)=2x-2sin x, 则 g'(x)=2-2cos x≥0,所以函数 g(x)在 R 上单调递增,即 f'(x)在 R 上单调递增.故选 A. 5.已知在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 xf'(x)<0 的解集 为