第五章过关检测(B卷) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.若x)=sina-cosx,则fx)等于() A.sin x B.cosx C.cos a+sin x D.2sin a+cosx 答案：A 解析：函数x)是关于x的函数，因此sina是一个常数.故fx)=sinx 2.若曲线y=在点P处的切线的斜率为-4，则点P的坐标是() A.G2) B(2)或(2 c(2) D(2 答案B 解析y=由是=4，得2=子从而x=±艺分别代入y是得点P的坐标为（侵2）或 (2 3.已知a为函数x)=x3-12x的极小值点，则a=( A.-4 B.-2 C.4 D.2 答案D 解析fx)=3x2-12,由fx)=0得x=土2，当x∈(-0，-2)时，fx)>0,函数x)单调递增；当 x∈(-2,2)时fx)<0,函数x)单调递减；当x∈(2，+o)时fx)>0,函数单调递增，所以 a=2 4过点(0,1)且与曲线y=+1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( x.1 A.2x+y-1=0 B.x-2y+2=0 C.x+2y-2=0 D.2x-y+1=0 答案D 解析y-(告) ,_x1-(x+1 -2 (x.1)2 (x12 则y=三于是所求直线的斜率为2， 故所求直线方程为-1=2x,即2x-y+1=0.故选D 5.函数x)=x2nx的单调递减区间是(). A(0,习 B晤+) c(m图，(0
第五章过关检测(B 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.若 f(x)=sin α-cos x,则 f'(x)等于( ). A.sin x B.cos x C.cos α+sin x D.2sin α+cos x 答案:A 解析:函数 f(x)是关于 x 的函数,因此 sin α 是一个常数.故 f'(x)=sin x. 2.若曲线 y= 1 𝑥在点 P 处的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标是( ). A.( 1 2 ,2) B.( 1 2 ,2)或 (- 1 2 ,-2) C.(- 1 2 ,-2) D.( 1 2 ,-2) 答案:B 解析:y'=- 1 𝑥 2 ,由- 1 𝑥 2=-4,得 x 2= 1 4 ,从而 x=± 1 2 ,分别代入 y= 1 𝑥 ,得点 P 的坐标为( 1 2 ,2)或 (- 1 2 ,-2). 3.已知 a 为函数 f(x)=x3 -12x 的极小值点,则 a=( ). A.-4 B.-2 C.4 D.2 答案:D 解析:f'(x)=3x 2 -12,由 f'(x)=0 得 x=±2,当 x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增;当 x∈(-2,2)时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数单调递增,所以 a=2. 4.过点(0,1)且与曲线 y= 𝑥+1 𝑥-1 在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ). A.2x+y-1=0 B.x-2y+2=0 C.x+2y-2=0 D.2x-y+1=0 答案:D 解析:y'=( 𝑥+1 𝑥-1 )'=𝑥-1-(𝑥+1) (𝑥-1) 2 = -2 (𝑥-1) 2 , 则 y'|x=3=- 1 2 ,于是所求直线的斜率为 2, 故所求直线方程为 y-1=2x,即 2x-y+1=0.故选 D. 5.函数 f(x)=x2 -ln x 的单调递减区间是( ). A.(0, √2 2 ] B.[ √2 2 , + ∞) C.(-∞,- √2 2 ] , (0, √2 2 )
).(o 答案A 解析f)=2x=2x>0 X 令)0，解得x要我0<x票又x>0, 2 所以)的单调道减区间为(0，乳 6.函数x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是( A.1 B C.0 D-1 答案：A 解析fx)=3-12x2x∈[0,1，令x)=0,解得x=舍去)或x= 又0)=01)=-1周)=是-支1， x)在区间[0,1]上的最大值为1. 7.己知函数)ar3+ar2-2ar+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是 () A(品别 B(-景-) c(-) D(∞，)u(9+∞ 答案D 解析：fx)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),要使函数x)的图象经过四个象限， 则-2M1)0,即(a+1)(-a+10,解得a<或a> 8.己知函数x)的导函数fx)=a(x-b)P+c的图象如图所示，则函数x)的图象可能 是() 答案D 解析：由题中导函数x)的图象可知，当x<0时，函数x)单调递减，排除A,B;当 0<x<xI时，fx)>0,函数x)单调递增
D.[- √2 2 ,0) , (0, √2 2 ] 答案:A 解析:f'(x)=2x- 1 𝑥 = 2𝑥 2 -1 𝑥 (x>0), 令 f'(x)<0,解得 x<- √2 2 或 0<x<√2 2 ,又 x>0, 所以 f(x)的单调递减区间为(0, √2 2 ]. 6.函数 f(x)=3x-4x 3 (x∈[0,1])的最大值是( ). A.1 B. 1 2 C.0 D.-1 答案:A 解析:f'(x)=3-12x 2 ,x∈[0,1],令 f'(x)=0,解得 x=- 1 2 (舍去)或 x= 1 2 . 又 f(0)=0,f(1)=-1,f( 1 2 ) = 3 2 − 1 2 =1, ∴f(x)在区间[0,1]上的最大值为 1. 7.已知函数 f(x)= 1 3 ax3+ 1 2 ax2 -2ax+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是 ( ). A.(− 3 10 , 6 7 ) B.(− 8 5 , − 3 16) C.(− 8 3 , − 1 16) D.(-∞,- 3 10) ∪ ( 6 7 , + ∞) 答案:D 解析:f'(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),要使函数 f(x)的图象经过四个象限, 则 f(-2)f(1)<0,即( 10 3 𝑎 + 1) (− 7 6 𝑎 + 1)<0,解得 a<- 3 10或 a>6 7 . 8.已知函数 f(x)的导函数 f'(x)=a(x-b) 2+c 的图象如图所示,则函数 f(x)的图象可能 是( ). 答案:D 解析:由题中导函数 f'(x)的图象可知,当 x<0 时,函数 f(x)单调递减,排除 A,B;当 0<x<x1 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增
因此，当x=0时x)取得极小值，故选D 9.己知定义域为R的函数x)满足1)=1，且x)的导函数fx)>三，则满足 2x)<x+1的x的集合为() A.{x-1<x<1} B.{xx<1) C.{xr<-1或x>1} D.xx>1) 答案B 解析：令gx)=2x)x-l,fx)>2 …gx)=2fx)-1>0,∴.函数gx)单调递增 .1)=1,·g1)=21)1-1=0, ∴.当x<1时g(x)0,即2x)<x+1,故选B 10.己知函数x)=x2+2x+anx,若函数x)在区间(0,1)内单调，则实数a的取值范 围是( A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0或a≤-4 D.a>0或a<-4 答案：C 解析/=2x+2+号 .x)在区间(0,1)内单调 ∴x)≥0或fx)≤0在区间(0,1)内恒成立 .2x+2+≥0或2x+2+8≤0在区间(0,1)内恒成立，即a≥-2x2-2x或a≤-2xr2-2x在 区间(0,1)内恒成立. 设g)=-2x2-2x=-2x++0≤x≤1)，则g)在区间0,1]上单调递减， .gx)的最大值为g0)=0,最小值为g(1)=-4 ∴.a≥0或a≤-4 11.已知定义在R上的函数x)x)+xfx)<0,若a<b,则一定有() A.afa)<bAb)B.afb)<bfa) C.a叭a>bb)D.ajb)>ba 答案：C 解析：设y=xx),则y=[xx)]'=xx)+xfx)=x)+xf(x)下0， 函数y=x)是R上的减函数 a<b,∴a叭a)>bb) 12已知函数x)-,且0<x1<<1,若a-n,b-in兰，则a,b的大小关系是 ()
因此,当 x=0 时,f(x)取得极小值,故选 D. 9.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 f'(x)> 1 2 ,则满足 2f(x)<x+1 的 x 的集合为( ). A.{x|-1<x<1} B.{x|x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|x>1} 答案:B 解析:令 g(x)=2f(x)-x-1,∵f'(x)> 1 2 , ∴g'(x)=2f'(x)-1>0,∴函数 g(x)单调递增. ∵f(1)=1,∴g(1)=2f(1)-1-1=0, ∴当 x<1 时,g(x)<0,即 2f(x)<x+1,故选 B. 10.已知函数 f(x)=x2+2x+aln x,若函数 f(x)在区间(0,1)内单调,则实数 a 的取值范 围是( ). A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4 答案:C 解析:f'(x)=2x+2+ 𝑎 𝑥 , ∵f(x)在区间(0,1)内单调, ∴f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 在区间(0,1)内恒成立, ∴2x+2+ 𝑎 𝑥≥0 或 2x+2+ 𝑎 𝑥≤0 在区间(0,1)内恒成立,即 a≥-2x 2 -2x 或 a≤-2x 2 -2x 在 区间(0,1)内恒成立. 设 g(x)=-2x 2 -2x=-2 x+1 2 2+ 1 2 (0≤x≤1),则 g(x)在区间[0,1]上单调递减, ∴g(x)的最大值为 g(0)=0,最小值为 g(1)=-4. ∴a≥0 或 a≤-4. 11.已知定义在 R 上的函数 f(x),f(x)+xf'(x)<0,若 a<b,则一定有( ). A.af(a)<bf(b) B.af(b)<bf(a) C.af(a)>bf(b) D.af(b)>bf(a) 答案:C 解析:设 y=xf(x),则 y'=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=f(x)+xf'(x)<0, ∴函数 y=xf(x)是 R 上的减函数, ∵a<b,∴af(a)>bf(b). 12.已知函数 f(x)= sin𝑥 𝑥 ,且 0<x1<x2<1,若 a= sin 𝑥1 𝑥1 ,b=sin 𝑥2 𝑥2 ,则 a,b 的大小关系是 ( )
A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b的大小不能确定 答案：A 解析x)=cosi匹令g)=-xCOS-sin0<x<1), x2 g(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x. 0<x<1,∴gx)<0,即函数gx)在区间(0,1)内单调递减，则gx)Kg0)=0, fx)<0,函数x)在区间(0,1)内单调递减 .a>b. 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分： 13.若函数x)=Inxl-f八-1)x2+3x+2,则f1)=」 答案：8 解析：当x>0时x)=lnxf-1)r2+3x+2 ∴fx)=2I)x+3, ∴.f1)=1-2f-1)+3. 当x<0时x)=ln(-x)f-1)x2+3x+2 ∴fx)=2-10r+3=2-)x+3,∴-l)=-1+2-1)+3, f%-1)=-2,∴f1)=8 14.已知函数x)满足x)=π-x,且当x∈(，)时，x)=x+sinx,设 a=1),b=2),c=f3),则a,b,c的大小关系是 答案：c<a<b 解析2)=π-2)，3)=π-3) :在区间受，内/)=1+cosx≥0， 在区间()内单调道增 2>1>-3>0, ∴.π-2)>1)Pπ-3)，即c<a<b. 15.己知函数x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0，则 a= b= 答案29 解析：因为x)在x=-1处有极值0，且fx)=3xr2+6arx+b, 所以=0*的-0 解得6子支6二日 当a=1,b=3时fx)=3x2+6r+3=3(x+1)2≥0 所以x)在R上为增函数，无极值，故舍去。 当a=2,b=9时，fx)=3x2+12x+9=3(x+1)x+3)
A.a>b B.a<b C.a=b D.a,b 的大小不能确定 答案:A 解析:f'(x)= 𝑥cos𝑥-sin𝑥 𝑥 2 ,令 g(x)=xcos x-sin x(0<x<1), 则 g'(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x. ∵0<x<1,∴g'(x)<0,即函数 g(x)在区间(0,1)内单调递减,则 g(x)<g(0)=0, ∴f'(x)<0,函数 f(x)在区间(0,1)内单调递减, ∴a>b. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若函数 f(x)=ln|x|-f'(-1)x 2+3x+2,则 f'(1)= . 答案:8 解析:当 x>0 时,f(x)=ln x-f'(-1)x 2+3x+2, ∴f'(x)= 1 𝑥 -2f'(-1)x+3, ∴f'(1)=1-2f'(-1)+3. 当 x<0 时,f(x)=ln(-x)-f'(-1)x 2+3x+2, ∴f'(x)=- 1 -𝑥 -2f'(-1)x+3= 1 𝑥 -2f'(-1)·x+3,∴f'(-1)=-1+2f'(-1)+3, ∴f'(-1)=-2,∴f'(1)=8. 14.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(π-x),且当 x∈(- π 2 , π 2 )时,f(x)=x+sin x,设 a=f(1),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系是 . 答案:c<a<b 解析:f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3), ∵在区间 - π 2 , π 2 内,f'(x)=1+cos x≥0, ∴f(x)在区间(- π 2 , π 2 )内单调递增, ∵ π 2 >π-2>1>π-3>0, ∴f(π-2)>f(1)>f(π-3),即 c<a<b. 15.已知函数 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 处有极值 0,则 a= ,b= . 答案:2 9 解析:因为 f(x)在 x=-1 处有极值 0,且 f'(x)=3x 2+6ax+b, 所以{ 𝑓'(-1) = 0, 𝑓(-1) = 0, 即 { 3-6𝑎 + 𝑏 = 0, -1 + 3𝑎-𝑏 + 𝑎 2 = 0, 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 或 { 𝑎 = 2, 𝑏 = 9. 当 a=1,b=3 时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去. 当 a=2,b=9 时,f'(x)=3x 2+12x+9=3(x+1)(x+3)
当x∈(-3，-1)时fx)<0,x)单调递减，当x∈(-1，+o)时fx)>0,x)单调递增，所以x) 在x=-1处取得极小值，因此a=2b=9. 16若函数)年在区间(m,2m+1)内单调递增，则实数m的取值范围 是 答案(-1,0] 解析)令>0，得-1<1，即函数)的单词道增区间为1， 又x)在区间(m,2m+1)内单调递增， (m≥-1， 所以m<2m+1,解得-1<m≤0 2m+1≤1， 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤，共70分 17.(10分)己知a,b是实数，1和-1是函数x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求a和b的值： (2)设函数gx)的导函数g(x)=x)+2,求g(x)的极值点 解：(1)由题设知fx)=3x2+2ar+b,且f代-1)=3-2a+b=0,f1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知x)=x3-3x 因为g(x)=x)+2=(x-1)2(x+2), 所以g《x)=0的根为x1=x2=1,X3=-2 于是函数gx)的极值点只可能是1或-2 当x<-2时gx)<0:当-2<x<1时gx)>0,故-2是gx)的极值点. 当-2<x<1或x>1时g《x)>0,故1不是gx)的极值，点。 所以gx)的极值点为-2 18.(12分)设函数x)=xea-r+bx,曲线y=x)在点(2,2)处的切线方程为y=(e 1)x+4. (1)求a,b的值 (2)求x)的单调区间. 解：(1)因为x)=xea-r+bx, 所以fx)=(1-x)ea-x+b. 徐议布8)=2m化e+8e2e+2 -ea-2+b=e-1, 解得8二日 (2)由(1)知x)=xe2-r+ex 由fx)=e2-r(1-x+el)及e2-x>0知，fx)与1-x+e-l同号. 令gx)=1-x+e-l,则gx)=-l+e-l 所以当x∈(-0,1)时g《x)<0,g(x)在区间(0,1)内单调递减
当 x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当 x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以 f(x) 在 x=-1 处取得极小值,因此 a=2,b=9. 16.若函数 f(x)= 4𝑥 𝑥 2 +1 在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数 m 的取值范围 是 . 答案:(-1,0] 解析:f'(x)= 4-4𝑥 2 (𝑥 2 +1) 2 ,令 f'(x)>0,得-1<x<1,即函数 f(x)的单调递增区间为(-1,1). 又 f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增, 所以{ 𝑚 ≥ -1, 𝑚 < 2𝑚 + 1, 2𝑚 + 1 ≤ 1, 解得-1<m≤0. 三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,共 70 分. 17.(10 分)已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g'(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点. 解:(1)由题设知 f'(x)=3x 2+2ax+b,且 f'(-1)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x3 -3x. 因为 g'(x)=f(x)+2=(x-1)2 (x+2), 所以 g'(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3=-2, 于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g'(x)<0;当-2<x<1 时,g'(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g'(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. 18.(12 分)设函数 f(x)=xe a-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e- 1)x+4. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 解:(1)因为 f(x)=xe a-x+bx, 所以 f'(x)=(1-x)ea-x+b. 依题设有{ 𝑓(2) = 2e + 2, 𝑓'(2) = e-1, 即{ 2e 𝑎-2 + 2𝑏 = 2e + 2, -e 𝑎-2 + 𝑏 = e-1, 解得{ 𝑎 = 2, 𝑏 = e. (2)由(1)知 f(x)=xe 2-x+ex. 由 f'(x)=e 2-x (1-x+e x-1 )及 e 2-x>0 知,f'(x)与 1-x+e x-1 同号. 令 g(x)=1-x+e x-1 ,则 g'(x)=-1+e x-1 . 所以当 x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)内单调递减;