第3课时 导数在解决实际问题中的应用 课后训练提升 基础巩固 1.一底面为正方形的箱子，其体积与底面边长x的关系为x)=x2.60<x<60),则 2 当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为() A.30 B.40 C.50 D.60 答案B 解析：x)=2r2+60r=2x-400<r<60),当0<r<40时，x>0,此时)单调递 增；当40<x<60时，Vx)<0,此时Vx)单调递减，所以在x=40处x)取得极大值，也 是最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为40， 2.做一个母线长为20cm的圆锥形漏斗，若要使其体积最大，则高为()】 A cm B.03 3 cm C.16V3 cm D.20 -cm 3 3 答案D 解析：设圆锥的高为xcm,则底面半径为V202-xzcm 体积为V=x(202-x20<x<20),于是V=π(400-3x2) 令r-0,解得-0如=20舍 当0<x<205时，>0： 3 当205<x<20时，<0， 故当x=203时，V取最大值 3.若圆柱轴截面的周长1为定值，则体积的最大值为() A(图x B(份x c(份x D(份x 答案：A 解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l, ∴h=2/=2h=22-2m(0<r<9) 则=r-62,令=0，得r=0或r-名 又>0，∴=二是其唯一的极值点，且为极大值点，也是最大值点 “.当r=时，V取得最大值，且最大值为（元
第 3 课时 导数在解决实际问题中的应用 课后· 基础巩固 1.一底面为正方形的箱子,其体积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2· 60-𝑥 2 (0<x<60),则 当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为( ). A.30 B.40 C.50 D.60 答案:B 解析:V'(x)=- 3 2 x 2+60x=- 3 2 x(x-40)(0<x<60),当 0<x<40 时,V'(x)>0,此时 V(x)单调递 增;当 40<x<60 时,V'(x)<0,此时 V(x)单调递减,所以在 x=40 处 V(x)取得极大值,也 是最大值,即当箱子的体积最大时,箱子的底面边长为 40. 2.做一个母线长为 20 cm 的圆锥形漏斗,若要使其体积最大,则高为( ). A. √3 3 cm B. 10√3 3 cm C. 16√3 3 cm D. 20√3 3 cm 答案:D 解析:设圆锥的高为 x cm,则底面半径为√20 2 -𝑥 2 cm, 体积为 V=1 3 πx(202 -x 2 )(0<x<20),于是 V'=1 3 π·(400-3x 2 ). 令 V'=0,解得 x1= 20√3 3 ,x2=- 20√3 3 (舍去). 当 0<x<20√3 3 时,V'>0; 当 20√3 3 <x<20 时,V'<0. 故当 x= 20√3 3 时,V 取最大值. 3.若圆柱轴截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( ). A.( 𝑙 6 ) 3 π B.( 𝑙 3 ) 3 π C.( 𝑙 4 ) 3 π D. 1 4 ( 𝑙 4 ) 3 π 答案:A 解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则 4r+2h=l, ∴h=𝑙-4𝑟 2 ,V=πr 2h=𝑙 2 πr 2 -2πr 3(0 < 𝑟 < 𝑙 4 ). 则 V'=lπr-6πr 2 ,令 V'=0,得 r=0 或 r= 𝑙 6 , 又 r>0,∴r= 𝑙 6是其唯一的极值点,且为极大值点,也是最大值点. ∴当 r= 𝑙 6时,V 取得最大值,且最大值为( 𝑙 6 ) 3 π
4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面 半径为 答案3 解析：设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为，则水桶的高为品 所以S=2+2召=2+54>0，求导数，得S=2令S”=0,解得=3. 当0<<3时，S<0:当r>3时，S>0,所以当r=3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用 料最省 5.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元套时，公寓会全部租 出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100 元维修费，则月租金定为 元套时，此房地产公司可获得最多收入 答案：1800 解析：设没有租出去的公寓为x套」 则收入函数x)=(1000+50x)(50-x)100(50-x)=-50x2+1600x+45000(0≤x≤50)， ∴.fx)=1600-100x, ∴.当x=16时x)取最大值，此时月租金为1000+50×16=1800（元/套） 故把月租金定为1800元/套时收入最多 6.已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为 米 答案：800 解析：设广场的长为x米，则宽为0米，于是其周长为y-2(x+0)>0), 所以y=2(1-0）,令y=0,解得x=200x=-200舍去) 当0<x<200时y'<0:当x>200时y>0 所以当x=20时，y取得最小值，故其周长至少为2×(200+20）-800米 7.已知矩形的两个顶点A,D位于x轴上，另两个顶点B,C位于抛物线y=4-x2在x 轴上方的曲线上，则当这个矩形的面积最大时，它的长和宽分别为 答案号，9 解析：由题意，设AD=2x,则AB=4-x2 于是矩形的面积S=2x(4-x2)=8xr-2x3(0<x<2) ∴.S=8-6x2 令S=0,解得19=2（含去） 当0<x<23时，S0: 当25<x<2时，S<0. ∴.当x=23时，S取得最大值，且最大值为即矩形的长和宽分别为号，3时，矩形 2 2 的面积最大
4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是 27π,且用料最省,则水桶的底面 半径为 . 答案:3 解析:设圆柱形水桶的表面积为 S,底面半径为 r,则水桶的高为27 𝑟 2 , 所以 S=πr 2+2πr· 27 𝑟 2=πr 2+ 54π 𝑟 (r>0),求导数,得 S'=2πr- 54π 𝑟 2 ,令 S'=0,解得 r=3. 当 0<r<3 时,S'<0;当 r>3 时,S'>0,所以当 r=3 时,圆柱形水桶的表面积最小,即用 料最省. 5.一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 1 000 元/套时,公寓会全部租 出去,月租金每增加 50 元,就会多一套租不出去,而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费,则月租金定为 元/套时,此房地产公司可获得最多收入. 答案:1 800 解析:设没有租出去的公寓为 x 套, 则收入函数 f(x)=(1 000+50x)(50-x)-100(50-x)=-50x 2+1 600x+45 000(0≤x≤50), ∴f'(x)=1 600-100x, ∴当 x=16 时,f(x)取最大值,此时月租金为 1 000+50×16=1 800(元/套). 故把月租金定为 1 800 元/套时收入最多. 6.已知某矩形广场的面积为 4 万平方米,则其周长至少为 米. 答案:800 解析:设广场的长为 x 米,则宽为40 000 𝑥 米,于是其周长为 y=2(𝑥 + 40 000 𝑥 )(x>0), 所以 y'=2(1 − 40 000 𝑥 2 ),令 y'=0,解得 x=200(x=-200 舍去). 当 0<x<200 时,y'<0;当 x>200 时,y'>0. 所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周长至少为 2×(200 + 40 000 200 )=800 米. 7.已知矩形的两个顶点 A,D 位于 x 轴上,另两个顶点 B,C 位于抛物线 y=4-x 2 在 x 轴上方的曲线上,则当这个矩形的面积最大时,它的长和宽分别为 . 答案: 8 3 , 4√3 3 解析:由题意,设 AD=2x,则 AB=4-x 2 , 于是矩形的面积 S=2x(4-x 2 )=8x-2x 3 (0<x<2). ∴S'=8-6x 2 . 令 S'=0,解得 x1= 2√3 3 ,x2=- 2√3 3 (舍去). 当 0<x<2√3 3 时,S'>0; 当 2√3 3 <x<2 时,S'<0. ∴当 x= 2√3 3 时,S 取得最大值,且最大值为32√3 9 ,即矩形的长和宽分别为8 3 , 4√3 3 时,矩形 的面积最大
8.一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知当速度为10k/h时， 燃料费是6元时，而其他与速度无关的费用是96元时，当行驶每千米的费用总和 最小时，此轮船的航行速度为 km/h. 答案20 解析：设轮船的速度为xkm/h时燃料费用为Q元，则Q=r3(0) 因为6=kx103,所以k=3所以Q=3x3 5001 500 设行驶每千米的费用总和为y, 则（品x3+96)归=2+兰≥0 所以y高9令0，解得x-20 因为当x∈(0,20)时y'<0,此时函数单调递减； 当x∈(20，+o)时y>0,此时函数单调递增」 所以当x=20时，y取得最小值，即当此轮船以20k/h的速度行驶时，行驶每千米 的费用总和最小 9.某造船公司年造船量为20艘，已知造船x(x∈N)艘的产值函数R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元)，在经济学 中，函数x)的边际函数Mx)定义为Mx)=x+1)x): (I)求利润函数Px)及其边际利润函数MP(x)提示：利润=产值-成本)： (2)年造船量为多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义 是什么」 解：(1)Px)=Rx)Cx)=-10x3+45x2+3240x-50000x∈N,且 1≤x≤20).MP(x)=Px+1)P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19). (2)P(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)x+9) 令P(x)=0,解得x=12或x=-9(舍去) 当0<x<12时，P《(x)>0,当x>12时，P(x)<0,所以当x=12时，P(x)有最大值，即年造船 量为12艘时，可使公司造船的年利润最大， (3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305,当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调 递减区间为[1,19]，且x∈N.单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利 润与前一艘比较，利润在减少 拓展提高 1.某商场从生产厂家购进一批商品，每件的价格为20元.若该商品的零售价定为p 元件，销售量为Q件时，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q=8300-170p-p2,则 最大毛利润（毛利润=销售收入-进货支出）为() A.30元 B.60元 C.28000元D.23000元 答案D
8.一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比,已知当速度为 10 km/h 时, 燃料费是 6 元/时,而其他与速度无关的费用是 96 元/时,当行驶每千米的费用总和 最小时,此轮船的航行速度为 km/h. 答案:20 解析:设轮船的速度为 x km/h 时燃料费用为 Q 元,则 Q=kx3 (k≠0). 因为 6=k×103 ,所以 k= 3 500 ,所以 Q= 3 500 x 3 . 设行驶每千米的费用总和为 y, 则 y=( 3 500 𝑥 3 + 96)· 1 𝑥 = 3 500 x 2+ 96 𝑥 (x>0). 所以 y'= 3 250 x- 96 𝑥 2 .令 y'=0,解得 x=20. 因为当 x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减; 当 x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增, 所以当 x=20 时,y 取得最小值,即当此轮船以 20 km/h 的速度行驶时,行驶每千米 的费用总和最小. 9.某造船公司年造船量为 20 艘,已知造船 x(x∈N* )艘的产值函数 R(x)=3 700x+45x 2 -10x 3 (单位:万元),成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元),在经济学 中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及其边际利润函数 MP(x)(提示:利润=产值-成本); (2)年造船量为多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义 是什么. 解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x∈N* ,且 1≤x≤20).MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275(x∈N* ,且 1≤x≤19). (2)P'(x)=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9). 令 P'(x)=0,解得 x=12 或 x=-9(舍去). 当 0<x<12 时,P'(x)>0;当 x>12 时,P'(x)<0,所以当 x=12 时,P(x)有最大值,即年造船 量为 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,所以单调 递减区间为[1,19],且 x∈N* .单调递减的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利 润与前一艘比较,利润在减少. 拓展提高 1.某商场从生产厂家购进一批商品,每件的价格为 20 元.若该商品的零售价定为 p 元/件,销售量为 Q 件时,则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系:Q=8 300-170p-p 2 ,则 最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为( ). A.30 元 B.60 元 C.28 000 元 D.23 000 元 答案:D
解析：设毛利润为L(p)元，由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8300-170p-p2)p-20) =-p3-150p2+11700p-166000(p≥20) 所以L(p)=-3p2-300p+11700 令Lp)=0,解得p=30或p=-130(舍去) 此时，L(30)=23000 因为在p=30附近的左侧L(p)>0,右侧L(p)<0,所以L(30)是极大值，根据实际问题 的意义知，L(30)是最大值，即当零售价定为30元/件时，毛利润最大，最大为23000 元 2.某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数y1=17x2(x>0),生产 成本2（单位：万元）是产量x(单位：千台)的函数2=2x3-x2(x>0),为使利润最大，产量 x的值为 答案：6 解析：设利润为y,则y=y1-2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0) 即y'=-6xr2+36x=-6x(x-6), 令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,则当x∈(0,6)时y>0,函数单调递增；当x∈(6，+0 时y'<0,函数单调递减，于是x=6是函数的极大值点，也是函数的最大值点 故当产量x=6时，利润最大 3.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一 边比另一边长0.5m,那么高为 m时容器的容积最大 答案：1.2 解析：设容器底面的较短边长为xm,则较长边长为(c+0.5)m,高为[14.8-4x 4x+0.5)]=(3.2-2x)m 由3.2-2x>0及x>0,得0<x<1.6. 设容器容积为ym3,则有y=x(x+0.5)3.2-2x)=-2x3+2.2xr2+1.6x(0<x<1.6), y'=-6x2+4.4x+1.6. 由y'=0及0<x<1.6,解得x=1, 当x∈(0,1)时y'>0, 当x∈(1,1.6)时y'<0 故当x=1时y取最大值，且max=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为1.2m 4.为处理含有某种杂质的污水，要制造一宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为α米，高为b米.已知流出的水中该杂 质的质量分数与α，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，那么当 a= b= 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A,B孔的面积忽略不计)
解析:设毛利润为 L(p)元,由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8 300-170p-p 2 )(p-20) =-p 3 -150p 2+11 700p-166 000(p≥20), 所以 L'(p)=-3p 2 -300p+11 700. 令 L'(p)=0,解得 p=30 或 p=-130(舍去). 此时,L(30)=23 000. 因为在 p=30 附近的左侧 L'(p)>0,右侧 L'(p)<0,所以 L(30)是极大值,根据实际问题 的意义知,L(30)是最大值,即当零售价定为 30 元/件时,毛利润最大,最大为 23 000 元. 2.某产品的销售收入 y1(单位:万元)是产量 x(单位:千台)的函数:y1=17x 2 (x>0),生产 成本 y2(单位:万元)是产量 x(单位:千台)的函数:y2=2x 3 -x 2 (x>0),为使利润最大,产量 x 的值为 . 答案:6 解析:设利润为 y,则 y=y1-y2=17x 2 -(2x 3 -x 2 )=-2x 3+18x 2 (x>0), 即 y'=-6x 2+36x=-6x(x-6). 令 y'=0,解得 x=0(舍去)或 x=6,则当 x∈(0,6)时,y'>0,函数单调递增;当 x∈(6,+∞) 时,y'<0,函数单调递减,于是 x=6 是函数的极大值点,也是函数的最大值点. 故当产量 x=6 时,利润最大. 3.用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一 边比另一边长 0.5 m,那么高为 m 时容器的容积最大. 答案:1.2 解析:设容器底面的较短边长为 x m,则较长边长为(x+0.5)m,高为1 4 [14.8-4x- 4(x+0.5)]=(3.2-2x)m. 由 3.2-2x>0 及 x>0,得 0<x<1.6. 设容器容积为 y m3 ,则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x 3+2.2x 2+1.6x(0<x<1.6), y'=-6x 2+4.4x+1.6. 由 y'=0 及 0<x<1.6,解得 x=1. 当 x∈(0,1)时,y'>0, 当 x∈(1,1.6)时,y'<0, 故当 x=1 时,y 取最大值,且 ymax=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为 1.2 m. 4.为处理含有某种杂质的污水,要制造一宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米,高为 b 米.已知流出的水中该杂 质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,那么当 a= ,b= 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A,B 孔的面积忽略不计)
答案：63 解析：设y为流出的水中该杂质的质量分数，则y-品其中(k>0)为比例系数 依据题意4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 则b=30-a 2+a 于是y=k k ab 30a2=02t20a<30) 2+a 令y=2k+a60=0,得a=6或a=-10(舍去) (30a-a2)2 当a∈(0,6)时y'<0,函数单调递减， 当a∈(6,30)时，y>0,函数单调递增 所以，α=6为函数的极小值点，也是唯一的极值点， 所以函数在α=6处取得最小值 当a=6时，b=3,即当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 5.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量（单位L)关于行驶 速度单位kmh)的函数为yzo。品+80<x≤120已知甲、乙两地相距 100km (1)当汽车以40kh的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？最少为多少升？ 解：(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地需行驶00=2.5h), 40 要耗油(28o×403-品×40+8)2.5=17.5L 故从甲地到乙地要耗油17.5L. (2)当速度为xkmh时，汽车从甲地到乙地需行驶”h 设耗油量为hL, 依题意得h-(x3-品x+8)”=P+婴-只0<≤120 6402x2 64020<r≤120). 则h'=x-800=x3803 令h'=0,得x=80, 当x∈(0,80)时，h<0,函数h=,1x2+00-50<x≤120)单调递减 1280 当x∈(80,120]时h>0,函数h=高+婴-只0<x≤120)单调递增 故当x=80时，h取得极小值11.25. 因为函教h2+婴-0<x≤120)在区间0,120上只有一个极值所以它是 1280 最小值 故汽车以80kh的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L
答案:6 3 解析:设 y 为流出的水中该杂质的质量分数,则 y= 𝑘 𝑎𝑏 ,其中 k(k>0)为比例系数. 依据题意 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 则 b=30-𝑎 2+𝑎 . 于是 y= 𝑘 𝑎𝑏 = 𝑘 30𝑎-𝑎2 2+𝑎 = 𝑘(2+𝑎) 30𝑎-𝑎 2 (0<a<30). 令 y'=𝑎 2 𝑘+4𝑎𝑘-60𝑘 (30𝑎-𝑎 2 ) 2 =0,得 a=6 或 a=-10(舍去). 当 a∈(0,6)时,y'<0,函数单调递减; 当 a∈(6,30)时,y'>0,函数单调递增. 所以,a=6 为函数的极小值点,也是唯一的极值点, 所以函数在 a=6 处取得最小值. 当 a=6 时,b=3,即当 a=6,b=3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 5.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(单位:L)关于行驶 速度 x(单位:km/h)的函数为 y= 1 128 000 x 3 - 3 80 x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 km. (1)当汽车以 40 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少?最少为多少升? 解:(1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地需行驶100 40 =2.5(h), 要耗油( 1 128 000 × 403 − 3 80 × 40 + 8)×2.5=17.5(L). 故从甲地到乙地要耗油 17.5 L. (2)当速度为 x km/h 时,汽车从甲地到乙地需行驶100 𝑥 h, 设耗油量为 h L, 依题意得 h=( 1 128 000 𝑥 3 − 3 80 𝑥 + 8)· 100 𝑥 = 1 1 280 x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (0<x≤120). 则 h'= 𝑥 640 − 800 𝑥 2 = 𝑥 3 -80 3 640 𝑥 2 (0<x≤120). 令 h'=0,得 x=80, 当 x∈(0,80)时,h'<0,函数 h= 1 1 280 x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (0<x≤120)单调递减; 当 x∈(80,120]时,h'>0,函数 h= 1 1 280 x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (0<x≤120)单调递增. 故当 x=80 时,h 取得极小值 11.25. 因为函数 h= 1 1 280 x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (0<x≤120)在区间(0,120]上只有一个极值,所以它是 最小值. 故汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 L