第1章工程优化的数学基础五0口27最优化问题的基本术语1. 11.2凸集与凸函数1.3二次函数与恒定矩阵1.4多元函数的可导性及其表示方法1.5凸函数的微分性质1.6凸规划及其对偶规划1/58
1/58 第1章 工程优化的数学基础 1.1 最优化问题的基本术语 1.2 凸集与凸函数 1.3 二次函数与恒定矩阵 1.4 多元函数的可导性及其表示方法 1.5 凸函数的微分性质 1.6 凸规划及其对偶规划
1.1最优化问题的基本术语111000f(x)min无约束优化问题ooannXeRn约束优化问题f(xminc,(x)= 0,i = 1,2,...m.S.t.[c,(x)≥ 0,i = m+1,m+ 2,.., p.约束条件自变量取值范围的限制c,(x)= 0,i = 1,2,...m.[c;(x)≥ 0,i = m+1,m+ 2,.., p.2/58
2/58 1.1 最优化问题的基本术语 无约束优化问题 f (x) n xR min 约束优化问题 min f (x) ( ) ( ) = + + = = 0, 1, 2, , . 0, 1,2, . . . c x i m m p c x i m s t i i 约束条件 自变量取值范围的限制 ( ) ( ) = + + = = 0, 1, 2, , . 0, 1,2, . c x i m m p c x i m i i
最优化问题的基本术语ODO可行解满足约束条件的x称为内点0可行解，也称为可行点或容许点。若存在等式约束，则可行点均为边界点边界点可行域：全体可行解构成的集外点合称为可行域，也称为容许集，记为S,即：S ={xc,(x)= 0,i = 1,2,...m, c,(x)≥0,i= m+1,.., p,x e R"3/58
3/58 { ( ) 0, 1,2, , ( ) 0, 1, , , } n S = x ci x = i = m ci x i = m + p x R 可行解:满足约束条件的x称为 可行解，也称为可行点或容许 点。 可行域:全体可行解构成的集 合称为可行域，也称为容许 集，记为S,即： S 外点 内点 边界点 若存在等式约束，则可行点均 为边界点. 最优化问题的基本术语
最优化问题的基本术语niob0i1o全局最优解（GlobalOptimum）iooann10012若x*εS,对于一切 x E S 恒有f(x)≤ f(x),则称x*为最优化问题的全局最优解若xeS,x≠x*，恒有f(x*)< (x),则称x为最优化问题的严格全局最优解4/58
4/58 全局最优解（Global Optimum） x S * 若x S , 对于一切 则称 ( ) ( ), * f x f x 恒有 * x 为最优化问题的全局最优解。 若 , , * x S x x 恒有 ( ) ( ), * f x f x 则称 * x 为最优化问题的严格全局最优解。 最优化问题的基本术语
最优化问题的基本术语1100局部最优解（LocalOptimumsooaon100120若x*ES，存在x*I的某邻域 N。(x*),使得对于一切xeSnN,(x*)恒有(x*)≤ f(x)则称x＊为最优化问题的局部最优解其中N。(x)= (xx-x*<8,8>0}同样可定义：严格局部最优解5/58
5/58 局部最优解（Local Optimum ） * * 若x S，存在x 的某邻域 ( ), * N x 使得对于一切 ( ) * x S N x 恒有 f (x ) f ( x) * 则称 * x 为最优化问题的局部最优解. ( ) , 0. * * 其 中N x = x x − x 同样可定义：严格局部最优解。 最优化问题的基本术语