最优性条件ioo0072万00308iooaoun1.．一般非线性优化最优解存在性问题2.无约束问题的最优性条件3.等式约束问题的最优性条件4.不等式约束问题的最优性条件5.一般约束问题的最优性条件6.凸优化问题的最优性条件工程优化方法及其应用2025/10/71/26
工程优化方法及其应用 2025/10/7 1/26 最优性条件 1. 一般非线性优化最优解存在性问题 2. 无约束问题的最优性条件 3. 等式约束问题的最优性条件 4. 不等式约束问题的最优性条件 5. 一般约束问题的最优性条件 6. 凸优化问题的最优性条件
1一般非线性规划最优解存在性定理皖111·3D601110一般非线性规划有如下形式10025002m3080iooaonmin f(x)xeSh,(x)= 0, j = 1,.",m-Yg;(x)≤0,i =1,...,t其中f(x),h;(x),g;(x)均为n元函数，其中至少有一个是非线性函数。VxES称为其可行解。S称为约束区域（可行域）2025/10/7工程优化方法及其应用2/26
工程优化方法及其应用 2025/10/7 2/26 一般非线性规划有如下形式 min ( ) S f x x S称为约束区域（可行域） = = = = g x i t h x j m x i j ( ) 0, 1, , ( ) 0, 1, , S 一个是非线性函数。 其中f (x),hj (x), gi (x)均为n元函数，其中至少有 x S 称为其可行解。 1. 一般非线性规划最优解存在性定理
（1）全局最优解不一定存在门Example:101 for r = 0, S =[0, 1]]f(c)cin0<≤1(2)Weierstrass定理：如果可行域S是Rn中的非空的有界闭集，f(x)在S上连续，则f(x)在S中至少有一个全局极小点（极大点）：工程优化方法及其应用2025/10/73/26
工程优化方法及其应用 2025/10/7 3/26 （1）全局最优解不一定存在. （2） Weierstrass定理：如果可行域S是Rn中 的非空的有界闭集，f(x)在S上连续，则f(x)在S 中至少有一个全局极小点（极大点）
2.无约束问题的最优性条件11110b01110o本节讨论无约束问题：1001215000min f(x)(3.1)eR"定理1（一阶必要条件）设x是(3.1)的一个局部极小点，且f(x)在x的邻域上连续可微，则f(x"）=0，即af(x*)af(xVf(x*)= f(x*) =0ax.ax称满足上式的点为驻点（稳定点））.实际上，在区域内部，极值点必为驻点，而驻点却不一定是极值点工程优化方法及其应用2025/10/74/26
工程优化方法及其应用 2025/10/7 4/26 2.无约束问题的最优性条件 定理1 （一阶必要条件） 称满足上式的点为驻点（稳定点）.实际上，在区域内 部，极值点必为驻点，而驻点却不一定是极值点. 连续可微，则 ，即 设 是（ ）的一个局部极小点，且 在 的邻域上 '( ) 0 3.1 ( ) * * * f x = x f x x 0 ( ) , ( ) ( ) '( ) T * 1 * * * = = = xn f x x f x f x f x ， min n f (x) （3.1） xR 本节讨论无约束问题：
定理2（二阶必要条件）7000设x是(3.1)的一个局部极小点，且f(x)在x的血邻域上二阶连续可微，则(1) Vf(x")= 0;(2)√2f(x*)为正定阵或半正定阵。定理3（极值存在的二阶充分条件）设f(x)在x的邻域上二阶连续可微，且Vf(x)=0,V2f(x*)是正定矩阵，则x"为(3.1)一个局部极小点工程优化方法及其应用2025/10/75/26
工程优化方法及其应用 2025/10/7 5/26 定理2 （二阶必要条件） 邻域上二阶连续可微，则 设x *是(3.1)的一个局部极小点，且f (x)在x *的 2 ( ) . 1 ( ) 0 2 * * （ ） 为正定阵或半正定阵 （ ） ； f x f x = 定理3（极值存在的二阶充分条件） ( ) (3.1) . ( ) ( ) 0 2 * * * * 是正定矩阵，则 为 一个局部极小点 设 在 的邻域上二阶连续可微，且 ， f x x f x x f x =