Chebyshev插值基点 不失一般性地，假设函数是定义在[-1,1]上的 目标：选取x1,…,xn使得 max I(x-x1)(x-x2)...(x-xn) (*) xe[-1,1] 最小 定理：令x=cos21严，i=1,,n,得到()最小值/2-1 2n Chebyshev多项式Tn(x)=2n-1(x-x1)(x-x2)(x-xn) Chebyshev插值多项式：选取Chebyshev基点进行拉格朗日插值得到的多 项式 13
Chebyshev插值基点 不失一般性地，假设函数是定义在[-1,1]上的 目标：选取�!, … , �"使得 max %∈[(),)] | � − �) � − �, … � − �# | (∗) 最小 • 定理：令�- = cos ,-() . ,# , � = 1, … , �，得到(∗)最小值 ⁄) ,!"# • Chebyshev多项式 �# � ≔ 2#() � − �) � − �, … � − �# • Chebyshev插值多项式：选取Chebyshev基点进行拉格朗日插值得到的多 项式 13
Chebyshev多项式 等价的定义Tn(x):=cos(n arccos x),x∈[-1,1] 这为什么是一个多项式？ ·回忆三角函数的倍角公式 cos(n0)可以展开成为关于cos的n次多项式 令x=cos0,则cos(n0)是关于x的m次多项式 cos(ne)=cos(narccosx) T(x)=1 T(x)=x T2(x)=c0S20=2c0s20-1=2x2-1 14
Chebyshev多项式 等价的定义 �! � ≔ cos(� arccos �) , � ∈ [−1,1] 这为什么是一个多项式？ • 回忆三角函数的倍角公式 • cos(��)可以展开成为关于 cos �的�次多项式 • 令� = cos �，则cos(��)是关于�的�次多项式 • cos �� = cos(� arccos �) �" � = 1 �# � = � �$ � = cos 2� = 2 cos$ � − 1 = 2�$ − 1 14
Chebyshev多项式 等价的定义Tn(x)=cos(n arccos x),x∈[-1,1] 令x=cos0 T0(x)=1 T(x)=x T2(x)=c0s20=2c0s20-1=2x2-1 应用倍角公式： Tn+1 (x)=cos(ne+0)=cosne cos0-sinne sin Tn-1 (x)=cos(ne-0)=cosne cos0+sinne sin0 两式相加 Tn+1 (x)+Tn-1(x)=2 cosne cos0 2xTn (x) 递归关系 Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x) 15
Chebyshev多项式 等价的定义 �" � ≔ cos(� arccos �) , � ∈ [−1,1] 令� = cos � �# � = 1 �! � = � �$ � = cos 2� = 2 cos$ � − 1 = 2�$ − 1 应用倍角公式： �"%! � = cos �� + � = cos �� cos � − sin �� sin � �"&! � = cos �� − � = cos �� cos � + sin �� sin � 两式相加 �"%! � + �"&! � = 2 cos �� cos � = 2��" � 递归关系 �"%! � = 2��" � − �"&! � 15
Chebyshev多项式 等价的定义 T (x):=cos(narccosx),xE [-1,1] 些观察： ·次数为n,最高次项的系数是2n-1 ·Tn(1)=1,Tn(-1)=(-1)m ·lTn(x川≤1 .Th)的零点恰好是=os2,i=1,n 2n >cosn8=0ifn8=(2i-1)·Z,i=1,,n ·Tn(x)在-1到1之间来回往返n+1次，分别在 cos0,cosco 。(n-1)π ,C0Sπ 16
Chebyshev多项式 等价的定义 �! � ≔ cos(� arccos �) , � ∈ [−1,1] 一些观察： • 次数为�，最高次项的系数是2!%# • �! 1 = 1, �! −1 = −1 ! • �! � ≤ 1 • �! � 的零点恰好是 �& = cos $&%# ' $! , � = 1, … , � Øcos �� = 0 iff �� = 2� − 1 ⋅ ! " , � = 1, … , � • �! � 在-1到1之间来回往返n+1次，分别在 cos 0, cos ' ! , … , cos !%# ' ! , cos � 16