所以 P(A3)()P (A)P (A31)= (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 (4)同样地A4=AA2A,A4 所以P(A4)P(AA2A,A4) =P (A)P(44)P(A144)P(A4144) =(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)=1/5 (5)P(A5)=P(AAA,A4A5)=(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)=1/5 此例可推广到n个人抓阄分物的情况，n个阄，其中有一个‘有'，n-1个‘无'， n个人排队抓阉，每人抓到‘有‘的概率都是1m. 若n个阄中，有m(m<n)个‘有’，nm个‘无'，则每个人抓到‘有'的概率都 是m/n. 由此例说明：对于抽签（抓阉）问题，不分先后。概率都一样，不必争先恐 后。 例8设100件产品中有5件是不合格品，用下列两种方法抽取两件， 求两件都是合格品的概率： (1)不放回顺序抽取 (2)放回顺序抽取 解设A={第一次取得是合格品} B={第二次取得是合格品} 我们的问题是求P(AB) (1)由题设，不放回抽取时
所以 P（A 3 ）=P（ −− A1 ）P（ −− A2 | −− A1 ）P（A 3 | −− A1 −− A2 ）= （4/5）（3/4）（1/3）=1/5 （4） 同样地 A 4 = −− A1 −− A2 −− A3 A 4 所以 P（A 4 ）=P（ −− A1 −− A2 −− A3 A 4 ） =P（ −− A1 ）P（ −− A2 | −− A1 ）P（ −− A3 | −− A1 −− A2 ）P（A 4 | −− A1 −− A2 −− A3 ） =（4/5）（3/4）（2/3）（1/2）=1/5 （5） P（A 5 ）= P（ −− A1 −− A2 −− A3 −− A4 A 5 ）= （4/5）（3/4）（2/3）（1/2）=1/5 此例可推广到 n 个人抓阄分物的情况，n 个阄，其中有一个‘有’，n-1 个‘无’， n 个人排队抓阄，每人抓到‘有‘的概率都是 1/n. 若 n 个阄中，有 m(m<n)个‘有’，n-m 个‘无’，则每个人抓到‘有’的概率都 是 m/n. 由此例说明：对于抽签（抓阄）问题，不分先后。概率都一样，不必争先恐 后。 例8 设 100 件产品中有 5 件是不合格品，用下列两种方法抽取两件， 求两件都是合格品的概率： （1） 不放回顺序抽取 （2） 放回顺序抽取 解 设 A={第一次取得是合格品} B={第二次取得是合格品} 我们的问题是求 P（AB） （1） 由题设 ，不放回抽取时
P(A)=95/100,P(BlA)=94/99 由乘法公式算得 P(AB)=P(A)P(B1A)=(95/100)×(94/99)=0.9 (2)由题设用放回抽取时， P(A)=95/100,P(BlA)=95/100 由乘法公式算得 P(AB)=P(A)P(BlA)=(95/100)×(95/100)=0.9025 在(2)的假设下，我们可以求得P(B)=95/100,它等于P(BlA),即P(B) =P(BA)。它说明事件A发生与否不影响事件B发生的概率。这结论从(2)的假设 可以直接看到，因为此时第二次抽取时的条件与第一次抽取时完全相同，即第一次抽 取的结果，完全不影响第二次抽取。 一个事件的发生与否，不影响另一事件发生可能性的大小（即两个事件之间有 某种“独立性”)这一性质，在概率论里是需要进一步研究的，这一点我们将在§1。 4中讨论。 三全概公式 为了求比较复杂事件的概率，经常把它分解为若干个互不相容的简单事件之 和，通过分别计算这些简单事件的概率，再应用概率的加法公式与乘法公式求得所需 结果，这是概率论中颇为有用的一种方法，先看下面的例子。 例9设有产品一盒共10只，其中有3只次品，从中取二次，每次取一 只，作不放回抽取，求第二次取到的是次品的概率。 解设A={第一次取到次品} B={第二次取到次品} 因为B=BQB(AUA)=ABU A B又(AB)(AB)=P 所以P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(BA)
P（A）=95/100，P（B|A）=94/99 由乘法公式算得 P（AB）=P（A）P（B|A）=（95/100） （94/99）=0.9 （2） 由题设 用放回抽取时， P（A）=95/100，P（B|A）=95/100 由乘法公式算得 P（AB）=P（A）P（B|A）=（95/100） （95/100）=0.9025 在（2）的假设下，我们可以求得 P（B）=95/100，它 等于 P（B|A），即 P（B） =P（B|A）。它说明事件 A 发生与否不影响事件 B 发生的概率。这结论从（2）的假设 可以直接看到，因为此时第二次抽取时的条件与第一次抽取时完全相同，即第一次抽 取的结果，完全不影响第二次抽取。 一个事件的发生与否，不影响另一事件发生可能性的大小（即两个事件之间有 某种“独立性”）这一性质，在概率论里是需要进一步研究的，这一点我们将在§1。 4 中讨论。 三 全概公式 为了求比较复杂事件的概率，经常把它分解为若干个互不相容的简单事件之 和，通过分别计算这些简单事件的概率，再应用概率的加法公式与乘法公式求得所需 结果，这是概率论中颇为有用的一种方法，先看下面的例子。 例9 设有产品一盒共 10 只，其中有 3 只次品，从中取二次，每次取一 只，作不放回抽取，求第二次取到的是次品的概率。 解 设 A={第一次取到次品} B={第二次取到次品} 因为 B=B =B（A −− A ）=AB −− A B 又 （AB）（ −− A B）= 所以 P（B）=P（AB）+P（ −− A B）=P（A）P（B|A）+P（ −− A ）P（B| −− A ）