一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数分分析(1) 考试性质:考试试卷类型: 考试班级:数学,信息 考试方法:闭卷命题教师: 解下列各题(4×3=12分) 1.解:函数的定义域为:{ xcosx≥0 (3分); 函数定义域为[2kx-z,2kx+21,k=0±1±2 -(4分) 2解:因为f(-x)=(-x)sin (3分); 所以:函数为奇函数 (4分)。 3.解:[p(x=y1+tan2x,x≠k±2,k=0,±1,±2 (4分)。 解答下列各题(4+12+6=22分) 1.证明:vE>0,由于Vm+1-√m= (2分 n>2,取N=[2 (3分); 从而,VE>0,存在N=[],Vn>N时,有 <E 所以lm(√ )=0 (4分)。 2.解 (.解:当a>a时,原式=lm(a24+(y)= (2分); 当a1<a2时,原式=lm(a21+(a)= (3分) 所以im(a+a2)=max{a,a2} 分)。 (2)解:lim(1--)=lim(1--)x)= 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第一学期 课程名称：数分分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、 解下列各题(4×3=12 分) 1．解：函数的定义域为：{ cos 0} x x -------------(3 分)； 函数定义域为[2 , 2 ], 0, 1, 2, , 2 2 k kk + = ±± ----(4 分)。 2.解:因为 2 2 1 1 ( ) ( ) sin sin ( ) ( ) f x x x fx x x = = = ---------------(3 分)； 所以:函数为奇函数.--------------(4 分)。 3.解: 2 [ ( )] 1 tan , , 0, 1, 2, 2 f x xx k k = + ± = ±± ，------(4 分)。 二、 解答下列各题(4+12+6=22 分) 1. 证明: > 0 ,由于 1 1 1 1 n n n nn + = =< < + + -----(2 分)； 2 1 n > ,取 2 1 N [ ] = --------(3 分)； 从而, > 0 ,存在 2 1 N [ ] = , n N > 时,有 n n +1 < , 所以lim( 1 ) 0 n n n + = -------------(4 分)。 2. 解: (1).解: 当 1 2 a a > 时，原式= 2 2 1 1 1 lim( 1 ( ) ) n n a a a a + = --------------(2 分)； 当 1 2 a a < 时，原式= 1 2 2 2 2 lim( 1 ( ) ) n n a a a a + = -------- (3 分)； 所以 1 2 12 lim( ) max{ , } n n n n a a aa + = ------------（4 分）。 (2)解: 1 11 1 lim(1 ) lim((1 ) ) x x x x x xe = = ------------(4 分)。
(3).解:由于lim x+a+b x+a-b (1分); x小(x-1x+1)(√x+a-b) 所以 √1+a-b=1(3分);从而,a=-16b=4 (4分)。 3.解:由于4=a>0,41=1(a+2)√,an=1an1+2)≥√,所以数列有下 界.-(2分);an-a (2-a/2-≤0,所以数列单减所以数列收 敛.-(4分);设lima=a,则有a=(a+-),所以极限 (a+ (6分)。 解下列各题(5×2=10分): 1.解:x=0时函数值不存在,所以x=0为间断点 (2分); limf(x)=1,limf(x)=-1,所以为跳跃间断点—(5分)。 2.证明:设f(x)=x-cosx (2分 f(0)=-1<0,f()=>0 (3分); 由介值定理:方程在(0,)至少存在一个实根 (5分)。 四、解下列各题(8+4=12分) 解:(1)简述区间套定理. (3分) (2).聚点定理的证明 (5分) 由于点集A有界,故有m,M使得As[m,M],取[m,M]=[ab],二等分,取 其中一个为[a2b],其含有A的无限多个点,如此下去得,那么可以得到闭区间 套:[anbn]<…∈[a1b,每一个都含有A的无限多个点,从而由闭区间套定理, 套住的唯一的一个点正是A的一个聚点。 证明:VE>0,Vx,x2,由于 (x)-/(x)=-√ x1-2< (2分) x1+√x2 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 (3).解:由于 2 2 1 1 lim lim 1 1 ( 1)( 1)( ) x x xa b xab x x x xab ++ + = = + + ------（1 分）； 所以 2 1 1 1 2 a b a b = + = ------(3 分)；从而, 15 1 , 16 4 a b = = -------(4 分)。 3. 解:由于 0 a a = > 0 , 1 1 2 ( )2 2 a a a = +> ， 1 1 1 2 ( )2 2 n n n a a a = + ,所以数列有下 界 .-(2 分)； 2 1 1 2 2 () 0 2 2 n nn n n n a aa a a a + = = ,所以数列单减.所以数列收 敛 .--(4 分)；设 lim k n a a = , 则 有 1 2 ( ) 2 a a a = + , 所 以 极 限 a = 2 .--------------(6 分)。 三、 解下列各题(5×2=10 分)： 1.解: x = 0 时函数值不存在，所以 x = 0 为间断点-------------(2 分)； 0 0 lim ( ) 1, lim ( ) 1 x x fx fx + = = ，所以为跳跃间断点.------------(5 分)。 2. 证 明 : 设 fx x x ( ) cos = -----------------(2 分)； (0) 1 0, ( ) 0 2 2 f f = < => -------(3 分)； 由介值定理: 方程在(0, ) 2 至少存在一个实根.---------------(5 分)。 四、 解下列各题(8+4=12 分) 1. 解: (1)简述区间套定理.-----------------------(3 分) (2).聚点定理的证明:------------------------(5 分) 由于点集 A 有界,故有 m，M 使得 A mM [ , ] ，取[mM a b , , ] = [ 1 1 ] ，二等分，取 其中一个为[a b 2 2 , ]，其含有 A 的无限多个点，如此下去得，那么可以得到闭区间 套: 1 1 [, ] [,] n n a b ab ，每一个都含有 A 的无限多个点，从而由闭区间套定理， 套住的唯一的一个点正是 A 的一个聚点。 2．证明： >0, 1 2 x x, ，由于 1 2 1 2 1 2 12 1 2 () () 2 x x x x fx fx x x x x = = << + --------(2 分)；
所以取6=2E—(3分);从而VE>0,x2,x2,满足x-x|<6,有 (x)-f(x2)<E,所以函数在[+∞)一致连续一 -(4分) 五、解下列各题(6×5=30分) 解:y=2-3x2,y(-1)=-1. (3分 从而过(-1,-1)的切线方程为:y+1=-(x+1),法线方程为:y+1=x+1-(6分) (6分) 3.解:对方程两边求导:y=-(1+y)sin(x+y) (3分) 所以y sin(x+y) (6分) I+sin(x+y) 解 sin t cot (3分); 1s1-(6分) 2si 5.解:y=x2sin(x+-) nisin(x+ x)+m(n-1)si(x+2 丌)--(6分) 六、解下列各题(5+4+5=14分) 1.证明:取g(x)=lnx,则g(x)f(x)在[O,1满足柯西中值定理 (2分); 所以存在∈(0.D,使得:(5)=a)-/(0) (4分) g(5)g(a)-g(b) 从而f(b)-f(a)=5f(5)ln (5分) 2.解:由洛必达法则 In sin 3 2 sec- x tan x 2 (4分) x→0° In r→01- COSx x0sinx 3.求导数:f(x)=(x+1)(x-3)(7x-9) 当x∈(-1,2)时,∫(x)<0;当x∈(,+∞)∪(-∞,-1)时∫(x)>0 所以严格单增区间为(-∞,-1)∽(2,+∞),严格单减区间为(-1,2 (3分) 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 所 以 取 = 2 ---------(3 分)； 从 而 > 0 , 1 2 x x, , 满 足 1 2 x x < , 有 1 2 f () () x fx < ，所以函数在[1, ) + 一致连续--------------------(4 分)。 五、 解下列各题(6×5=30 分)： 1. 解: ' 2 y x = 2 3 ， ' y ( 1) 1 = .-------------------(3 分)； 从而过( 1, 1) 的切线方程为：y x + =1 ( 1) + ，法线方程为：y x += + 1 1----(6 分)。 2. 解: 2 2 ' 22 22 22 22 2 1 1 1() x x y ax a ax ax ax x a = + = + ------(6 分)。 3. 解:对方程两边求导: ' ' y y xy = (1 )sin( ) + + ------------(3 分)； 所以 ' sin( ) 1 sin( ) x y y x y + = + + ----------------------(6 分)。 4. 解: sin cot 1 cos 2 dy t t dx t = = -----(3 分)； 2 2 4 2 2 1 csc 1 2 2 csc 4 2 2sin 2 t dy t dx a t a = = ----(6 分)。 5．解: ( ) n y = 2 1 2 sin( ) 2 sin( ) ( 1)sin( ) 22 2 nn n x x nx x n n x ++ + + + ----(6 分)。 六、解下列各题(5+4+5=14 分) 1.证明:取 gx x ( ) ln = ,则 gx f x ( ), ( )在[0,1]满足柯西中值定理--------(2 分)； 所以存在 (0,1) ,使得: ' ' () () () () () () f fa fb g ga gb = -----------------(4 分)； 从而 fb fa () () ' ( )ln b f a = --------------------------(5 分)。 2.解: 由洛必达法则 2 2 3 0 00 0 ln sin 3 sec 1 2sec tan 2 lim lim lim lim 2 ln sin 1 cos sin cos x xx x x x xx xxx x + = = == --------(4 分); 3．求导数: ' f x( ) = 3 2 ( 1) ( 3) (7 9) xx x + ---------(1 分) 当 9 ( 1, ) 7 x 时, ' f x() 0 < ；当 9 ( , ) ( , 1) 7 x + 时 ' f x() 0 > . 所以严格单增区间为 9 ( , 1) ( , ) 7 + ,严格单减区间为 9 ( 1, ) 7 .------(3 分)；
极大值∫(-1)=0,极小值,2)≈、16.123 (5分) 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 极大值 " f ( 1) 0, = 极小值 ， 4 3 7 9 16 12 ( ) 7 7 f × = （5 分）