门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 23离散傅里叶级数(DFS)的性质 由于可以用采样Z变换来解释DFS,因此它的许多性质与Z 变换性质非常相似。但是,由于(n)和(k)两者都具有周期性, 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外,DFS在时域和 频域之间具有严格的对偶关系,这是序列的Z变换表示所不具有 的 设 别为 ∴(m)和(mn)皆是周期为N的周期序列,们各自的DFS分 X(k)=DFS[, (n) X,(=DFS,(n)
第2章 离散傅里叶变换 2.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 由于可以用采样Ｚ变换来解释DFS，因此它的许多性质与Ｚ 变换性质非常相似。但是，由于 和 两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和 频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有 的。 和 皆是周期为N的周期序列，们各自的DFS分 别为： ( ) ~ x n ( ) ~ X k ( ) ~ x1 n ( ) ~ x2 n ( )] ~ ( ) [ ~ ( )] ~ ( ) [ ~ 2 2 1 1 X k DFS x n X k DFS x n = =
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 231线性 DESLar, (n)+br,(n)=aX,()+bx, (k) (2-19) 式中,a和b为任意常数,所得到的频域序列也是周期序列,周 期为N。这一性质可由DFS定义直接证明,留给读者自己去做
第2章 离散傅里叶变换 2.3.1 线性 ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~ ( ) ~ [ 1 2 1 2 DFS ax n + bx n = aX k + bX k （2-19） 式中，a和b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周 期为N。这一性质可由DFS定义直接证明，留给读者自己去做
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 232序列的移位 丌 mk DES(n+m]=wn X(k)=e X(k)(2-20) DFSWWNx(n)=X(k+D) 2-21 或 丌 IDFSIX(k+D=WNx(n)=e x(n)(2-216 证 N DFS[(n+m)=∑X(n+m)x ∑(W如Wxm产+m
第2章 离散傅里叶变换 2.3.2 序列的移位 ( ) ~ ( ) ~ [ ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~[ 2 DFS W x n X k l DFS x n m W X k e X k n l N m k N j m k N = + + = = − （2-20） （2-21a） 或 ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~ [ 2 IDFS X k l W x n e x n n l N j n l N − + = = 证 （2-21b） m k N ki N N m i m n k N N n x i W W DFS x n m x n m W − − + = − = = + = + 1 1 0 ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~[ i=n+m
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 由于x(1)及W都是以N为周期的周期函数,故 DES[(n+m)]=Wm I(Wh=W X(k) 由于x(n)与X(k)的对称特点,可以用相似的方法证明式 (2-21a): DESIWNX(m)=∑W(mW=∑(m形N=X(+D
第2章 离散傅里叶变换 由于 都是以N为周期的周期函数， 故 ki WN ~ x (i)及 ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~[ 1 0 DFS x n m W x i W W X k m k N ki N N i m k N − − = − + = = 由于 与 的对称特点，可以用相似的方法证明式 （2-21a）： ( ) ~ x n ( ) ~ X k ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( )] ~ [ ( ) 1 0 1 0 DFS W x n W x n W x n W X k l l k n N N n kn N N i n l N n l N = = = + + − = − =
门相关知识点第2幸离散傅里叶变换 233周期卷积 如果 Y(k)=X1(k)X2(k) 则 y(n)=IDFS[Y (k)]=2E,(m)i2(n-m) 或 i(n)=∑x(m)(n-m) (2-22) 证 (n)=DFS[X(k)X2(k=3∑X(k)2(k)形 代入 X(m)=∑x(m)W mk m=0
第2章 离散傅里叶变换 2.3.3 周期卷积 如果 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 2 Y k = X k X k 则 y n IDFS Y k x m x（n m） N m = = − − = 2 1 0 1 ~ ( ) ~ ( )] ~ ( ) [ ~ 或 y n x m x（n m） N m = − − = 1 1 0 2 ~ ( ) ~ ( ) ~ 证 kn N N k X k X k W N y n IDFS X k X k − − = = = （2 ） 1 0 1 2 1 ~ ( ) 1 ~ ( )] ~ ( ) ~ ( ) [ ~ 代入 mk N N m X n x m W − = = 1 0 1 1 ( ) ~ ( ) ~ (2-22)