傅里叶变换 ·一维连续函数的傅里叶变换对的符号表示为： f(x)台F(u) ●一些性质 f(x)为实函数，其傅里叶变换F(u)通常为复函数，若F(u) 的实部为R(u),虚部为I(u),则 。复数形式：F(u)=R(u)+jI(u) 。指数形式：F(u)=lF()eja(w ●相角：O(u)=arctan ●振幅：IF(u)川=√R2(u)+I2(u) ●振幅谱的平方称为f(x)的能量谱： E(u)=lF(u)2=R2()+I2(u) 频域变换 2018年4月2日
频域变换 11 2018年4月2日 傅里叶变换 一维连续函数的傅里叶变换对的符号表示为： 一些性质 𝑓𝑓(𝑥𝑥)为实函数，其傅里叶变换𝐹𝐹(𝑢𝑢)通常为复函数，若𝐹𝐹(𝑢𝑢) 的实部为𝑅𝑅(𝑢𝑢)，虚部为𝐼𝐼(𝑢𝑢)，则 复数形式： 𝐹𝐹 𝑢𝑢 = 𝑅𝑅 𝑢𝑢 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢 指数形式： 𝐹𝐹 𝑢𝑢 = 𝐹𝐹 𝑢𝑢 e𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑢𝑢) 相角：𝜃𝜃(𝑢𝑢) = arctan 𝐼𝐼(𝑢𝑢) 𝑅𝑅(𝑢𝑢) 振幅： 𝐹𝐹 𝑢𝑢 = 𝑅𝑅2 𝑢𝑢 + 𝐼𝐼2 𝑢𝑢 振幅谱的平方称为𝑓𝑓(𝑥𝑥)的能量谱： 𝐸𝐸 𝑢𝑢 = 𝐹𝐹 𝑢𝑢 2 = 𝑅𝑅2 𝑢𝑢 + 𝐼𝐼2 𝑢𝑢 f (x) ⇔ F(u)
二维傅里叶变换 ·一维连续函数的傅里叶变换推广到二维。 ·如果二维函数满足狄利克雷条件，则其傅里叶变换对为 F[fc,gl=Fu,心)=∫cfa,y)e2r+dxdy F-F(u,v)=f(,y)=F(u,v)e(dudv 式中，x,y为时域变量，u,v为频域变量。 。二维连续函数的傅里叶变换对的符号表示为： f(x,y)→F(u,) 频域变换 12 2018年4月2日
频域变换 12 2018年4月2日 二维傅里叶变换 一维连续函数的傅里叶变换推广到二维。 如果二维函数满足狄利克雷条件，则其傅里叶变换对为 式中，𝑥𝑥, 𝑦𝑦为时域变量，𝑢𝑢, 𝑣𝑣为频域变量。 二维连续函数的傅里叶变换对的符号表示为： 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝐹𝐹 𝑢𝑢, 𝑣𝑣
二维傅里叶变换 ●一些性质 。若F(u,v)的实部为R(u,),虚部为I(u,),则 。复数形式：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v) ·指数形式：F(u,)=lF(u,)le9, ·相角：O(u)=arctan I(u,) R(u,v)] 。振幅：1F(u)川=√R2(u,v)+I2(u,v) 。振幅谱的平方称为f(x,y)的能量谱： E(u,v)=lF(u,v)12=R2(u,v)+I2(u,) 频域变换 13 2018年4月2日
频域变换 13 2018年4月2日 二维傅里叶变换 一些性质 若𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣)的实部为𝑅𝑅(𝑢𝑢, 𝑣𝑣)，虚部为𝐼𝐼(𝑢𝑢, 𝑣𝑣)，则 复数形式：𝐹𝐹 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 = 𝑅𝑅 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 + 𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) 指数形式： 𝐹𝐹(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝐹𝐹 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑢𝑢,𝑣𝑣 相角：𝜃𝜃(𝑢𝑢) = arctan 𝐼𝐼(𝑢𝑢,𝑣𝑣) 𝑅𝑅(𝑢𝑢,𝑣𝑣) 振幅：|𝐹𝐹(𝑢𝑢)| = 𝑅𝑅2 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 + 𝐼𝐼2 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 振幅谱的平方称为𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)的能量谱： 𝐸𝐸(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝐹𝐹 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 2 = 𝑅𝑅2 (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) + 𝐼𝐼2 (𝑢𝑢, 𝑣𝑣)
离散函数的傅里叶变换 ·连续傅里叶变换在计算机上无法直接使用，因为 计算机只能处理离散数值。 。为了在计算机上实现傅里叶变换计算，必须把连 续函数离散化，即将连续傅里叶变换转化为离散 傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,简称 DFT)。 频域变换 2018年4月2日
频域变换 14 2018年4月2日 离散函数的傅里叶变换 连续傅里叶变换在计算机上无法直接使用，因为 计算机只能处理离散数值。 为了在计算机上实现傅里叶变换计算，必须把连 续函数离散化，即将连续傅里叶变换转化为离散 傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，简称 DFT)
离散函数的傅里叶变换 。设{f(x)川f(0),f(1),f(2),,f(N-1)}为一维信号 f(x)的N个抽样，其离散傅里叶变换对为： Y- FIf(x】)=F(）=∑fax)ePaW FIRa==raea 式中：x,u=0,1,2,…,N-1. 频域变换 15 2018年4月2日
频域变换 15 2018年4月2日 设{𝑓𝑓(𝑥𝑥)|𝑓𝑓(0), 𝑓𝑓(1), 𝑓𝑓(2), … , 𝑓𝑓(𝑁𝑁 − 1)}为一维信号 𝑓𝑓(𝑥𝑥)的𝑁𝑁个抽样，其离散傅里叶变换对为： 式中：𝑥𝑥, 𝑢𝑢 = 0, 1, 2, ⋯ , 𝑁𝑁－1. j ux N N x j ux N N x F u e N F F u f x F f x F u f x e 2 / 1 0 1 2 / 1 0 ( ) 1 [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) π π ∑ ∑ − = − − − = = = = = 离散函数的傅里叶变换