9.2可分离变量的微分方程 定义：形如fx)dx+g(y)dy=0 (9.2.1) 的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。 如果微分方程M化，y)dx+N(c,)=0 (9.2.2) 中左端的函数M化，y、Nxy)都可以分解为两个因子的积， 并且这两个因子中一个只含有变量x,另一个只含有变量， 即上述方程可以表为 M (x)M,(y)dc+N (x)N,(y)dy =0 以M2(y)N,(x)去除这个方程的两边，上式就可化为 前页后页结束
前页 后页 结束 9.2 可分离变量的微分方程 定义： 形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （9.2.1） 的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。 如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (9.2.2) 中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可以分解为两个因子的积， 并且这两个因子中一个只含有变量x,另一个只含有变量y， 即上述方程可以表为 ( ) ( ) M2 y N1 x M1 (x)M2 ( y)dx + N1 (x)N2 ( y)dy = 0 以 去除这个方程的两边，上式就可化为
M) N(x) dx+ Ndy=0 M,(Y) (9.2.3) 将(9.2.3)式两边积分后 y=C（C为任意常数) 可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.23)的通解 约定： 在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一 个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。 前页后页结束
前页 后页 结束 1 2 1 2 ( ) ( ) d d 0 ( ) ( ) M x N y x y N x M y + = （9.2.3） 将（9.2.3）式两边积分后， 1 2 1 2 ( ) ( ) d d ( ) ( ) M x N y x y C N x M y + = （C为任意常数） 可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解． 个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。 约定: 在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
例1求微分方程 d =0的通解 V1-y2 1+x2 解移项、积分 得 arcsin y arctan x+C 例2求方程y'=(sinx-cosx)V1-y2的通解 解分离变量，得 =(sinx-cosx)d 1-y2 两边积分，得通解 arcsiny=-(cosx+sin x)+C 前页后页结束
前页 后页 结束 的通解 d d 0 1 1 2 2 = + − − x x y y + = − 2 1 2 1 x x y dy d 例1 求微分方程 解 移项、积分 得 arcsin arctan y x C = + 例2 求方程 2 y' = (sin x − cos x) 1− y 的通解 解 分离变量，得 x x x y y d d (sin cos ) 1 2 = − − 两边积分，得通解 arcsin y = −(cos x + sin x) +C
例3求微分方程 少_x(1+y2) 满足初始条件 dx (1+x2)y x=0=1的特解. 解 此为可分离变量的微分方程 分离变量后得 1+ 两端积分，得n(1+y2)=n(1+x2)+nC 即1+y2=C(1+x2) 由初始条件=0=1，得C=2 故所求特解为y2=2x2+1 前页后页结束
前页 后页 结束 x x x y y y d d 2 2 1 1 + = + y x=0 = 1 例3 求微分方程 满足初始条件 的特解． 解 此为可分离变量的微分方程 分离变量后得 x y x y x y (1 ) (1 ) 2 2 + + = d d 两端积分，得 ln(1 y ) ln(1 x ) ln C 2 2 + = + + 即 1 (1 ) 2 2 + y = C + x 故所求特解为 2 1 2 2 y = x + 由初始条件 y x=0 = 1, 得 C = 2
例4求微分方程(x2+y)dx-xydy=0的通解 解整理得 这不是可分离变量的方程，若令u=上 即y=心 X 则有y'=u+xd 代入方程得u+xd=u十一 即 x du I (1) dx u (1)为可分离变量的微分方程 前页 后页结束
前页 后页 结束 例4 求微分方程 2 2 ( ) d d 0 x y x xy y + − = 的通解． 解 整理得 d d y x y x y x = + 这不是可分离变量的方程，若令 x y u = 即 y = ux 则有 y' = u + xu' 代入方程得 u u x u u 1 + ' = + (1)为可分离变量的微分方程 d 1 d u x x u 即 = (1)