13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 6页 解容易看出, (D2-D2Dy-2D2+2D+2D2)u =(Dx+D3)(Dx-2Dy+2)a=0 故方程的通解为 =0(x-y)+ep(y+2x) ★若有重复性因子,如(Dx-aD-B)2z=0,则通解为 z=rezo(y+ax)+ez(y +ar)
13.2 ~Xê5àg ©§Ï) 1 6 ) N´wѧ (D 2 x − DxDy − 2D 2 y + 2Dx + 2Dy)u = (Dx + Dy)(Dx − 2Dy + 2)u = 0. §Ï) u = φ(x − y) + e −2xψ(y + 2x). F ekE5Ïf§X(Dx − αDy − β) 2 z = 0§KÏ) z = xe βxφ(y + αx) + e βxψ(y + αx)
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第7页 13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 非齐次方程的通解=非齐次方程的任一特解 +相应齐次方程的通解 将方程 L(Dr, Dy)u= f(a, y) 的特解形式地表示为 L(Dx, Dy) f(r, y) 而后按下列法则求出uo(x,y) 1.若f(x,y)=ex+by,且L(a,b)≠0,则 ar+by ar+ ★L(a,b)=0的情形 不妨设L(Dx,Dy)=bDx-aD3 (bDr -aDy)u=eaz+by 仿照132节中的方法,得到 Lagrange辅助方程组 d a dx+bdy=0, F adu +ear+budy=0 由第一个方程得 代入第二个方程, +edy=0 所以 即 bDr -aDy earthy=--yeax
13.3 ~Xê5àg ©§Ï) 1 7 13.3 ~Xê5àg ©§Ï) àg§Ï) = àg§?A) + Aàg§Ï)© ò§ L(Dx, Dy)u = f(x, y) A)/ª/L« u0 = 1 L(Dx, Dy) f(x, y), Ue{K¦Ñu0(x, y)µ 1. ef(x, y) = eax+by§ L(a, b) 6= 0§K 1 L(Dx, Dy) e ax+by = 1 L(a, b) e ax+by . F L(a, b) = 0/© ØL(Dx, Dy) = bDx − aDy§ (bDx − aDy)u = e ax+by . ì13.2!¥{§Lagrange9ϧ| dx b = dy −a = du e ax+by , = a dx + b dy = 0, Ú adu + e ax+bydy = 0. d1§ ax + by = c. \1§§ adu + ec dy = 0. ¤± u = − 1 a ye c = − 1 a ye ax+by , = 1 bDx − aDy e ax+by = − 1 a ye ax+by .
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第8页 上述求解过程中注意两点.第一,在求出了第一个方程的解(含有积分常数c)后 需代入第二个方程,以消去x,其代价是引入了积分常数c;在求出第二个方程的 解后,又需反过来消去积分常教.第二,在求解第二个方程时,不必再引进第二 个积分常数 若f( ),显然有 L(Dr, Dy) F(ia, ib) 因此,当a和b为实数,且L(Dx,D3)中的系数也为实数时, s sin(at +by)= m (az+b L(Dz, Dy) L(ia, ib) cos(ar +by )=Re ★如果L(Dx,Dy)是D2,D=D2和D的简单复合函数 L(Dx, D,)=G(D2, DrDy, D4) G(D2, D Dy, Di sin(ar +by) G(a 62) sin(ar+ by). G(D,D2D,D万(ax+b) 3.若f(x,y)=ex+g(x,y),则 L(Dr, Dy) +by 证注意 L(Dz, Du)earby g(a,y)=etyL(D2 +a, D,+6)g(a, y) 这样,就有 L(Dr, Dy) (Dx +a, Dy+b) g(r, y) az+b L(Dx +a, Dy+b)
13.3 ~Xê5àg ©§Ï) 1 8 þã¦)L§¥5¿ü:©1§3¦Ñ 1§)(¹kÈ©~êc) I\1§§±x§Ùd´Ú\ È©~êc¶3¦Ñ1§ )§qIL5È©~ê©1§3¦)1§§Ø72Ú?1 È©~ê© 2. ef(x, y) = ei(ax+by)§w,k 1 L(Dx, Dy) e i(ax+by) = 1 F(ia, ib) e i(ax+by) . Ïd§aÚb¢ê§ L(Dx, Dy)¥Xê¢ê§ 1 L(Dx, Dy) sin(ax + by) = Im · 1 L(ia, ib) e i(ax+by) ¸ , 1 L(Dx, Dy) cos(ax + by) = Re · 1 L(ia, ib) e i(ax+by) ¸ . F XJL(Dx, Dy)´D 2 x, DxDyÚD 2 y{üEÜ¼ê§ L(Dx, Dy) = G(D 2 x, DxDy, D2 y), K 1 G(D2 x, DxDy, D2 y) sin(ax + by) = 1 G(−a 2, −ab, −b 2) sin(ax + by), 1 G(D2 x, DxDy, D2 y) cos(ax + by) = 1 G(−a 2, −ab, −b 2) cos(ax + by). 3. ef(x, y) = e ax+byg(x, y)§K 1 L(Dx, Dy) e ax+byg(x, y) = eax+by 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y). y 5¿ Dx £ e ax+by g(x, y) ¤ = e ax+by(Dx + a)g(x, y), Dy £ e ax+by g(x, y) ¤ = e ax+by(Dy + b)g(x, y), Ïd L(Dx, Dy)eax+by g(x, y) = eax+byL(Dx + a, Dy + b)g(x, y). ù§Òk L(Dx, Dy) ½ e ax+by 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y) ¾ = e ax+byL(Dx + a, Dy + b) ½ 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y) ¾ = e ax+by g(x, y).