2.2.1介值定理最值定理2.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理定理 4 (最值定理)若 f(α) E C[a,b],则 f(aα)在[a,b] 上能取到最大值和最小值. 即存在 a* E [a, b] 和 α* E [a, b], 使得对所有的 α E [a, b], 有f(α*) ≤f(α) ≤f(αc*)证明因为f(a)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上有界设M=sup(f(α)|aE[a,b]].对任意自然数n存在anE[a,b]使得M-=<f(an)≤M.这说明【f(an）》收敛到M.根据Bolzano-Weierestrass定理知存在【an】的收敛子列 ank→ a* E [a, b]. 于是M = lim f(ank)= f(a*).这就证明了f在[a,b]上取到上确界M.同理可证f在[a,b]上取到下确界证毕这个定理说明连续函数将闭区间映为闭区间1I返回全屏关闭退出6/17
2.2.1 2.2.2 0½n ½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n ½n 4 (½n) e f(x) ∈ C[a, b], K f(x)3 [a, b] þUÚ . =3 x∗ ∈ [a, b] Ú x ∗ ∈ [a, b], ¦é¤k x ∈ [a, b], k f(x∗) 6 f(x) 6 f(x ∗ ) y² Ï f(x) 3 [a, b] þëY, ¤±3 [a, b] þk. M = sup{f(x)| x ∈ [a, b]}. é?¿g,ê n 3 xn ∈ [a, b] ¦ M − 1 n < f(xn) 6 M. ù`² {f(xn)} Âñ M. â Bolzano-Weierestrass ½n3 {xn}  ñf xnk → x ∗ ∈ [a, b]. u´ M = lim k→∞ f(xnk ) = f(x ∗ ). ùÒy² f 3 [a, b] þþ(. M. Óny f 3 [a, b] þe( . y. ù½n`²ëY¼êò4«mN4«m. 6/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
介值定理最值定理2.2.12.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理2.2.2一致连续性函数f(α）在区间I上连续时，对于I中每一点co,f在aco连续，因此任意>0存在>0使得只要-col<I就有f(aα)-f(ao)/<e.一般来说其中的不仅依赖于，也依赖于Co.f(a)观察一个例子f(α) =α E (0, 1)r显然它是区间（0，1）上的连续函数，即在每一点cE（0,1)都连续L1Co返回全屏关闭退出7/17
2.2.1 2.2.2 0½n ½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n 2.2.2 ëY5 ¼ê f(x) 3«m I þëY, éu I ¥z: x0, f 3 x0 ëY, Ïd, ?¿ ε > 0, 3 δ > 0 ¦ |x − x0| < δ, x ∈ I, Òk |f(x) − f(x0)| < ε. 5`Ù¥ δ Ø=6u ε, 6u x0. * ~f f(x) = 1 x , x ∈ (0, 1) w,§´«m (0, 1) þëY¼ê, = 3z: x ∈ (0, 1) ÑëY. ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 0 0 x0 1 x f(x) 7/17 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ