.爱因斯坦速度合成定理及其在光行差和牵引系数方面的应用 dg′d(cosa") ds d(cos a) 对下式 1+B cos a (16c) 1-B cos a 微分,即可得到 ds 1-B2 1-B cos a)2 d (17) 公式(15)表示多普勒效应,(16a)式是方程(13)的逆式 这样,我们已经完成了一次新的、较严格的关于相对论光行差 公式的推导.如所预期,我们也断定了多普勒效应的表达式, 到可以用实验验证的一阶项为止,是和经典表达式一致的.和 光行差中的情形一样相对论提出了一个自然的简化,两种情 况(光源静止,观察者运动;光源运动,观察者静止)在旧理论 中,以及声学中原来是不同的,而这里已经变成是等同的了 相对论的特征是,即使光源运动与观察方向成直角时 (cosa=0),多普勒效应并不消失.在这情况下,由公式(15) 我们有 ′-√1-8 (17a) 这个横向的多普勒红向位移与对运动时钟所假定的时间膨胀 是完全一致的(§5).在tark从极隧射线粒子所发出的光 中观察到多普勒效应以后不久,爱因斯坦就提出横向多普 勒效应可能从极隧射线的观测中得到证实.直到现在还不能 证明有可能完成这样的实验,因为要使a正好等于90°把相 对论的横向多普勒效应与通常的纵向多普勒效应分开是十分 困难的 52)A.Einstein, Ann. Phys. Lpa, 33(1907)197. t见补注5
第∏编数学工具 7.四维时空世界(闵可夫斯基) 在第Ⅰ编中,我们证明了相对性和光速不变性两个假定 可以归并为一个条件,即所有物理定律,在洛伦兹变换下,都 应该不变.从现在起,我们将把洛伦兹变换理解为满足恒等 式(II)的所有的(∞)10的线性变换的一个整体每一个这样 的变换可由坐标系的旋转(也可以再加上反射)和象(I)63)式 那样的特殊洛伦兹变换.因此,从数学上来说,狭义相对论就 是洛伦兹群的不变式的理论 闵可夫斯基的成就)是发展相对论的基础,他通过下列 两件事实的合理应用,给予相对论一个非常美妙的形式 53)当从坐标本身的一个变换过渡到它们的微分的变换时,就没有相应于移 动原点(见下一节)的一种变换.见§22关于由于实际要求对洛伦兹群 的可允许的变换所加的限制,以及关于时间的逆转 54)H. Minkowski:(I)“ Das Relativitatsprinzip,在1907年11月5日 在Math.〔es. Gottingen发表的演讲,发表于Jber. atch,Mat.ep, 24(1915)872,及Am.Phy8,Ln2,47(1915)927.(I) Die grund gleichungen fur die elektromagnetischen vorg inge in bewegten g Korpen, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen(1908)53, R Math.4nn, 68 (1910)±72,也有单行本( Leipzig1911).(II1)“ Raum und Zeit在 1908年9月21日于 Cologne举行的科学家会议上所发表的演讲,发表 于Pbys.z,10(1909)104,并纳入论文集 Das Relativitatsprinzip ( Leipzig1913).这些文献将称为 Minkowski I,I,及II 作为闵可夫斯基的先驱者,应当提及邦卡勒(参阅注11,B.C. Circ. mat. Palermo,同前所引).他在当时曾经引用过虚坐标t=ict,而把它 解释为在F4中的点坐标,并把它与现在我们称之为矢量分量的这些量 结合在一起,而且,在他的讨论中,不变的间隔起着作用
7.四维时空世界(闵可夫斯基) (a)若引入虚数u=lct代替通常的时间t,则时间坐标 与空间坐标在洛伦兹群中形式上是完全等价的,并且,相对于 这个群为不变式的物理定律也是等价的.事实上,表征洛伦 兹变换的不变式 成为 a2+y2+2+2 (18) 这样,一开始就很方便,不必再区分空间与时间,仅须考虑四 维时空流形.我们将按照闵可夫斯基的说法,简称之为“世 界 (b)由于表达式(18)在洛伦兹变换下是不变式,并且坐 标也是二次方的,这就可以自然地将它规定为世界点P(a,y, z,)到原点的距离的平方,使类似于通常空间中距离的平方 a2+y2+z.用这种方法可以形成一种与欧氏几何学紧密相 关的世界几何学(度规).因为坐标之一具有虚数性质,这两 种几何学不是完全一样的.例如,后一性质意味着,两个世界 点的距离为零,但不必重合,关于这一点将在§22中较详细 地讨论.尽管有这些几何上的差异,我们仍然可以将洛伦兹 变换看成世界坐标的正交线性变换,并且把它看成世界坐标 轴的(虚)转动使类似于R3中的坐标系的转动.还有,正如 通常的矢量和张量计算可以看成是B3的正交线性坐标变换 的不变式理论一样,洛伦兹群的不变式理论具有四维矢量和 张量计算的形式5).所以,总起来说,第二个事实是闵可夫斯 基表象理论的主要方面,它可以表达如下:由于洛伦兹群保持 55)这种张量分析的第一次表述可在前面所引的闵可夫斯基的论文中找到 索末菲首先作了系统的表述:A. Sommerfeld,Am.Phys,Lnz,32 (1910)749及33(1910)649
第编数学工具 了四个世界坐标的二次型不变,这个群的不变式理沦可以用 几何方法表示,因而它自然地把通常的矢量和张量计算推广 至四维流形。 8.更普遍的变换群 为了能够推导广义相对论必需应用的数学工具,我们先 介绍一些它的形式结果 在广义相对论中,两个相距为有限距离的世界点之间的 间隔不再能用关系(18)的简单形式来确定,但在这里,相距为 无限小的两点之间的距离d的平方还是可以用坐标的微分 的二次形式来表示.坐标用u,∞2,3,x4代替m,y,t,w或 者简写为x这个二次形式的系数用9w表示,并且,按照爱 因斯坦的办法,略去求和号,并规定每一指标出现两次时,即 表示从1到4取和.因此,我们有 ds=ga da dak(gu=gw (19) 右边的求和应这样进行,和k分别取1到4的数值.因而 在式(19)中,的组合,≠出现两次,=k仅出现一次 举例来看,用这种规定,二次型 对4的微商是 aJ au 这和欧拉定理是一致的,即 aJ 式(19)所代表的线元中,g4一般是坐标的任意函数.相 应地说,当gw用显函数表出时,广义相对论所讨论的是所有
8.更普遍的变换群 31 点变换 a"="k(a,2,x3,a) 构成的群的不变式理论 现在我们对物理学中用到的一些最重要的变换群作一个 概述,上面详细提到的即是其中的一部分.这里我们按照 F. Klein50所实现的方案( ranger Programm?)来叙述 除(B)以外,所列举的每一个群都把前面的作为子群包含在 内 (A)正交线性变换群(洛伦兹群),它保持距离的平方 s2=22+a2+23+z 不变.包括或不包括非齐次变换都可以.但若洛伦兹群确定 为坐标的微分的线性变换群,使无限小量 ds2=dai+dx?+da3+da4 保持不变,则仅包含(∞)°齐次变换.但在有些应用上,原点 的移动是很重要的.此外,我们必须区别函数行列式为+1 的正常正交变换以及还包含有函数行列式为-1的更广泛的 混合正交变换群.前一种变换可以连续地变为恒等变换,而 后一种则与反射有关 (B)仿射群,它包含所有的线性变换 (B")仿射变换群,仿射变换将光锥方程 a2+a2+22+ 55a)F. Klein, "Programm zum Eintritt in die philosophische Fakultat ( Erlangen1872);重印于Math,Amm,43(1893)63.也可参见他的演 i"Uber die geometrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe, Jber. atch.Mat.ver,19(1910)281,及Phys,z,12(1911)17.也可参见 Klein的 Gesammelte mathematische Abhandlungen,第一卷( Berlin 1921)565~567页中的文章