第I编数学工具 变成其本身,因此有 a12+a2+x32+o2=p(a+a2+3+x), 式中p为坐标的任意函数,参看§28和65(8)中它在麦克斯 韦方程中的适用性和在 nordstrom的引力理论中的作用 (O)线性分式变换的射影群.这主要被数学家用于非欧 几何学的早期研究中,在物理学中,它是不重要的(也可参看 §18) (D)伴随有微分形式(19)的所有点变换群.它的不变 式理论就是广义相对论中的张量计算 (E)参看第Ⅴ编§65Wey1的更广泛的群 8.仿射变换中的张量计算 为了避免在狭义和广义相对论中写同一公式要用不同方 6)除了在§7中所引的参考文献之外,也可见:H. Grassmann, Auden- nungslehre (Berlin 1862); M. v. Laue, Das Relativitatsprinaip (1911年第一版,1919年第三版);H.Weyl, Raum-Zeit-M (1918年第一版,1919年第二版,1920年第三版)[ Space-Time-Matter (London, 1922)]; G. Ricci K T. Levi-Civita, " M6thodes de calcul diferentil abgolu et leung application", Math. Ann, 54(1901)135 A. Einstein, "Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitatsthe orie”),S.B. preuss.Akad.Wass.(1914)1030,及“ Die Grundlage der 1igemeinen Relativitatstheorie ,Ann. PhIS, Lp2, 49(1916)769, 还另外出过合订本( Leipzig1916)·另一种术语曾为G.N. Lewis [Proc.Amer.Acal. rts sci.,46(1910)165]以及卫.B. wilson和 G.N.Lews[同前,48(1912)387]使用过,也可参阅G,N. Lewis的 报告[Jb. Radiant,7(1910)321].也可见H. Kafka,mn.Phys, L pa. 58(1919); H. Lang, Dissertation (Munich 1919)K Ann. Pys.,Lp,1(1920)32.也可见C. Runge, Vektoranalysis( Leipzig 1919),关于互易矢量系统,但他只限于R3.对于在第II编所讨论的材 料,也可见R. Weitzenbock,数学百科全书,II】7,第二部分,O节 可以看到,本书中所表述的仿射变换的张量分析,只在它所用的术语与 代数学中的不变的形式理论中所用的有所不同
9.仿射变换中的张量计算 法的不便,我们一开始就采用仿射群作为表述的基础而不局 限于正交变换.从几何的观点看来,这意味着我们可以用斜 坐标系(但不能用曲线坐标系).g为常数,但这些常数不一 定永远有归一化数值g业=8,,这是与正交坐标系不同之处, 这里量δ由下式定义 0当≠h, 21) 1当=b 现在张量计算可以用多种方法来建立.或者把张量元素 理解为某些几何实体的射影,或者用纯粹的代数方法,由坐 标变换中的性质来表征.闵可夫斯基仅从儿何方面考虑四矢 量,有了二秩反号对称张量(或者按照他原来的说法:第二种 矢量)的概念以后,他首先采用了纯粹代数方法.由于索末菲 论文5)的影响,几何方法风行一时,直到用更一般的变换群 来代替洛伦兹群的时候为止.因此没有几何处理方法包含在 Rici和 Levi-Civita5)的文章里,这些文章是一般点变换的 张量计算的基础,与用几何方法解释矢量的逆变与协变分量 的打算是背道而驰的.仅在以后的海森堡, Levi-Civita和 Weyl57)的文章里,我们才发现几何方法方面又受到较大程度 的重视.这在Iang0)的论文中也有完整的报导.纯粹代数 表示的优点是形式简洁,而几何表示的优点是形象鲜明.我 们开始将用前者,但以后,在特殊情况下,对我们所要揭露的 概念和定理将用几何方法来解释 量ak砌其中指标可以独立地取数值1,2,3,4称为张 量的分量.特别是具有指标m…的张量分量称为协变分 量,具有指标8…的张量分量称为逆变分量,若下述条件得 ↑这篇论文已成为爱因斯坦研究的出发点6) 57)分别参见§§10及14中的注583及注65,66,67
第Ⅱ编数学工具 到满足:对于仿射变换 及其逆变换 (23) 且系数a满足 a‘a=aa1=8 (24) 张量的分量的变换应为5) (25) 这里所用的求和法则是指标出现两次(参阅§14对任意坐标 变换的这个定义的推广),分量具有的指标数目称为张量的 秩一秩张量又称为矢量,这种矢量的最简单的例子是一点的 坐标4(逆变的)由公式(21)定出的量δ,按照(24),构成张 量的分量,对于指标是协变的对于指标k是逆变的.张量 δ.k还有一个性质,它的分量在所有坐标系中有相同的数值 两个张量[同秩]相加,得到一个同秩的新张量;若相乘, 得出秩数较高的张量.例如 ai+6 abx=cik, a,6=c 通过收缩(对相应的上指标和下指标取和),我们得到秩数较 低的张量.例如二秩张量得出不变量t=#(这里按照我们 的约定,求和号略去了).相乘和收缩也可以结合在一起,例 如我们可以先用a4乘b构成张量 8 ==ab 57a)我们认为假使把标记“逆变的和“协变的交换一下,相应于历史上旧的 术语“协步的”和“逆步的”将更为正确.这样一来,象坐标那样变换的量 就称为协变量.但是,我们这里所采用的是目前一般使用的术语,这种 术语创始于Rici及 Levi-Civita,并为爱因斯坦及Weyl所采用(参阋 注56)
9.仿射变换中的张量计算 然后通过收缩得出不变式 当然,这也可以从矢量a;和b通过直接运算得出 b 用同样的方法,一个二秩张量at和一个矢量x可以结合起 来构成矢量 yi=aik c 和不变量 这里应用的法则反过来也同样成立:若对任意矢量a是 不变量,则a是矢量的协变分量;若a4=a,并且a1x;k对 任意矢量G;而言是不变量,则a是二秩张量的逆变分量;等 等.这些结果推广到任意秩张量也是显而易见的 若将一个张量的指标和互换,它的分量并不改变或 只改变符号,则这个张量分别称为按指标,k对称或反称[反 号对称]的张量(例如aw=ak或atk=-akx).不难证明,这种 关系不依赖于坐标系的选择.但是两个指标必须同是上指 标,或者同是下指标 公式(19)引入的量g也是张量,这从9wa的不变性58) 可以看出.这个张量在几何学和物理学中都是很重要的,称 为基本(或度规)张量.我们可以从9w得到新张量如下.取 9w的行列式 9=det 9w I (26) 用g去除某一9k的子式,这样得出10个量g"(g=gx),它 满足关系式 58)在仿射群适用的区域里,这两点(它们的距离是由9kx所决定)不 定要假定为彼此极其接近的,参阅§10
第I编数学工具 gag ka=8 (27) 这里还应该提及 det g k (26a) 现在我们可以断言9是二秩张量的逆变分量.为了证明这 点,取一个矢量的逆变分量a,以9k相乘,那么根据收缩 法则得到 a4=9 这一组方程的逆变换是 又因分量ak是完全任意的,从上面引述的定理可知g具有 张量的性质 我们把量a和a称为同一矢量的协变分量和逆变分量 相应地我们对高秩张量可以确定出指标的升高或降低,并将 最后得出的量看成是属于同一张量.例如 ai=girgisars=gira'k, ak=gg*ars=gar.(28b) 指标的升高或降低对于张量之间的已知关系的正确性并无影 响,但应注意在收缩时必须对相应的上指标和下指标取和, 例如 J=ab'=a6 abk=a,b 29) 张量代数法则到此结束.张量分析(即对坐标微分导出 新的张量的法则)对仿射群而言,可以看出是直接服从张量代 数法则的.只须注意到算符cx的行为,在任何方面,形式 上和一个矢量的协变分量一样.这些算符的次序关系和几何 解释只有在一般变换群的张量计算的体制内才能讨论