第工编狭义相对论基础 +os/c 1+uz2 (10) u,=v1-v2/cu +ouf/ci 这个关系式在上面提到过的邦卡勒的论文中也可以找到.从 这个关系式可以直接得出 a= fa+0+2u'v cos a'-Lu'v sin a/c=) 也可以写成 1 1+( wt o cos a’)/c 和 tan a=- u 1-0/c2u sin a ud'cosa+υ 用一2代v就可以得到逆变换公式.所以对速度的绝对值 而言,交换律是成立的,但对方向而言,交换律就不成立了 对于两个相加速度是互相平行或互相垂直的特殊情况,合成 法则可以直接从公式(10)导出. 从公式(11a)再可以看出,两个小于c的速度合成的结果 总是得到一小于c的速度.而且,物体不能以大于c的相对 速度运动这是由于在这种情况下变换公式(I将得出坐标的 虚数值.我们还可以作另一种论述.假定在系统K中一个 效应用大于光速的速度传播是可能的,那么,将存在一个系 统K(相对于K以小于光速的速度运动),K中的一个事件 将引起另一个在它后面的事件,在K中这个事件会发生在另 事件的后面.因为我们可以令=2=0,>c,那么,应用 公式(10)的逆变换公式,并选择(/)<(v/c)<1,就得到
6.爱因斯坦速度合成定理及其在光行差和牵引系数方面的应用 (2y(50 这就等于否定了因果概念,因此我们可以断定:用大于光速的 速度发出信号是不可能的4).所以在相对论中,光速在许多 方面起着无限大速度的作用.为了防止这一类偶然产生的误 解,这里应该特别强调,从它本身推导出来的大于光速的速度 是不存在的这一定理,仅适用于伽利略参考系 现在我们来较详细地考虑下一情况,在两个待合成的速 度中有一个速度等于光速c,而光线的方向则是任意的;因此 有v'=C.那么,按照公式(11),=c,即(光速)+(小于c的 速度)仍然等于光速.在这情况下关系式(12)变为 B sin a tan a=s-ps cos a+B 13) 这就是光行差的相对论公式,是爱因斯坦在他的第一篇论文 中导出的.它的一个较严格的证明将在以后表述,对于一阶 的量而言,这个公式与经典公式是一致的.光源运动,观察者 静止;光源静止,观察者运动;以前一直认为是两回事.用相 对论就得到固有的简化,现在两者已成为等同的了 爱因斯坦的速度合成定理的第二个重要的应用是关于菲 涅耳牵引系数的解释.在Iaub3)试图解释而未获成功之后, 劳厄40第一个考虑了这个问题.正如光行差的情形一样,相 对论与洛伦兹的电子论解释比较时,至少在可观察的一阶量 上,相对论并不能提供新的结果.但相对论的推导仍然有 (190 23(1907)738 46)M.v.Iaue,Am.Phys,p,23(1907)989 47)见数学百科全书V1±( Leipzig1904)§60中的讨论.H.A. Lorentz 在Nat. Rasch,21(1906)487中从电子论观点出发,对牵引系数 作了简单的推导
第I编狭义相对论基础 很大优点,它比电子论的推导简单,具体说来,它证明最终结 果与任何有关光的折射机构的特殊假定无关.一般的解释途 径也是不同的.以前,斐索的实验实际上被认为证明了静止 时以太是存在的.当时所提出的解释48是光波相对于运动媒 质的传播速度不是c/而是(c/m)-(T/m2).这就暗示着非相 对论运动学是适用的,从相对论观点看来,它是不正确的.更 确切一些,人们应该说,对于随媒质一道运动的观察者来说 光象通常一样是以速度c/m沿所有方向传播的.正因为如此 相对于媒质以速度”运动的观察者所看到的光的传播速度不 是(c/m)+而是可由公式(10)决定的另一速度V.现在我们 仅限于讨论光线的方向与观察者相对于媒质运动的方向相重 合的情形[对于第II编§36()中所讨论的一般情况,用起 合成定理来应该当心一些],因而我们可以令==(/m) 4=u=V,当仅保留一阶量时,方程组(10)中的第一个式子 将成为 (c/m)+ 对于色散性媒质,正如洛伦兹4)曾经指出的,必须在方程右方 加一个修正项.从这个公式的推导中可以看到,%表示对应 于在运动系统K′中所观察到的波长M的折射率.由于多普 勒效应(关于它的理论,下面即将讨论),M与波长λ(在系统 K中有效的)是由以下的方式连起来的 x-2(+2)-2(4+m) (我们再一次地限制在一阶量范围以内.)因此,我们有 48)例如见H.A. Lorente,数学百科全书V13( Leipzig)§21,103页 49)H. A. Lorentz, Versuch einer Theorie der elektrischen und optischuen Erscheinungen in bewegten Korpern(Leyden 1895)101 a
爱因斯坦速度合成定理及其在光行差和牵引系数方面的应用 ()m(^) 将m(λ)写成m,最后,我们得到 V==+v λ.dm m2%d入 (1a) 塞曼曾经用实验证明了这个附加项的存在 近来,实验装置已经过各种各样的改进,如使光不是从固 定的、而是从运动的表面发出,并使与已测定其牵引系数的物 体的运动方向垂直.采用了运动着的固态玻璃和水晶来代替 斐索实验中的液体.在这种情况下,斐索实验的理论必须加 以修正,因而所得的公式也不同)此外,已经用转动代替了 移动.特别值得提起的是 Sagnac的实验,在这个实验中,仪 器的所有部件都一起旋转,因为它可以证明:一个参考系相对 于伽利略系统的旋转可以通过系统内部的光学实验来确定 这个实验的结果与相对论完全一致.在这以前,迈克尔逊1) 曾经建议用类似的光学实验来演示地球的转动,劳厄1)又从 50) P Zeeman, Versl. gewone Vergad. Akad. Amst., 23(1914)245 K 24 (1915)18. U1)这些实验已由G. Sagnac,C.B.Aca.Sci.,pars,157(1913)708及 1410;J.Pwys,tho.am!.,(5)4(1914)177[理论曾被M.v.Laue 寸论过:S.B. bayer.Aka.Ws.(1911)404及 Das relativnitats inap(1919第三版)];及F. Harness, Dissertation(Jena,1911)做过 并由O. Knopf,Am.Phys.,Lm,B2(1920)389[关于理论的说明 见P.五 arter,dst.Nach,198(1914)378及199(1914)10;A einstein,str. Nachy,199(1914)9及47]作过报告;最后做实验的 FE. P Zeeman, Versi. gewone Vergad. Akad. Amst, 28(1919)1451, 及P.Ze Versl. sewon 28(1919)1462;Proc,Aea, 1920)462及512; v.Lauo已对所有这些实验的理论作了详细的推究:Amn.Phys,Lp, 51a) A. A. Michelson, Phiz. Mag, 8(1904)716; M. v. Laue, S. B. bayer. Ahc. wiss, math. phys. KZ,(1911)405
第I编狭义相对论基础 理论观点对这个建议作过透彻的讨论.它实质上是佛科摆的 一种光学模拟 这里要讨论的第三个也是最后一个现象是多普勒效应, 尽管它与速度合成定理漠不相关,但它是运动物体的光学基 础之一.我们来考虑一个在系统K中静止的、很远的光源 一观察者随着另一系统K′沿c正方向以速度υ相对于系统 K运动.在系统K中,光源与观察者的连线与c轴成a角, 并且取z轴垂直于这两个方向所决定的平面.则在K中光 的周相由下式决定 exp 2 xiv t-a cos a+y sin a 式中v为光源的正常频率.有如在第II编§32(8)中将较详 细地讨论的周相必须是一个不变量.因此 exp 2Tiv'lt a' cos a+sin a cos a+y sin a =exp 2iv t 从公式(I)可得 1- Bcos a 少= () cos a'cos a-B, sin a'=1-B cos a SI aM (16) 1-B cos a 从这些式子我们得到 tan a= In aN (16a) cos a-B 和 a=/1+Bana (16b) 1-B 这里我们还要写出光束的立体角的变换公式.因为 见补注±