12 第工编狭义相对论基础 式,则k必<0.002现在我们可以将这个结果与上述发射理 论在解释斐索实验时所遇到的困难结合在一起来考虑,并从 原子论角度上对折射加以解释.因此可以有把握地说,光速 不变性的假设已被证明是正确的,另一方面,里兹以及其他的 人为了解释迈克尔逊实验所作的种种尝试业已证明是站不住 脚的 4.同时的相对性.从两个假设推导洛伦兹变換.洛伦兹变 换的公理本质 乍看起来,上述两个假设似乎是彼此不相容的.我们取 个相对于观察者A以速度0运动的光源,并考虑另一相 对于D为静止的观察者B.那么,两个观察者看到的波阵面 分别是球心相对于A、B为静止的球面.换句话说,他们看到 不同的球.但是,假如我们承认,空间各点对A来说,光线同 时到达而对B来说,不同时到达,这个矛盾就会消失,这就 直接地告诉我们同时的相对性.这里首先必须说明在不同地 点的两个钟的同步的意义是什么.下面是爱因斯坦选择的定 义,光线在时刻从点P发出,在时刻从点Q反射回来 并且在时刻却回到点P若右=(t+t),则我们说Q点 的钟和P点的钟是同步的爱因斯坦所以用光线来校准时钟 是因为两个假设使我们有可能对光信号的传播方式作明确的 描述.自然也可以设想其他办法来比较两个时钟,例如移动 它们、利用机械耦合或弹性耦合等等,但须作这样的约定,凡 与光学校准方法有矛盾的方法都不能选用 现在我们可以推导连结两个相对作匀速运动的参考系K 和K′中的坐标x,y,2,和c,y,z,t的变换公式.设参
4.同时的相对性,从两个假设推导洛伦兹变换。洛伦兹变换的公理本质13 考系K以速度0相对于参考系K运动,并取运动的方向为 轴的正方向.所有作者都是从变换公式必须是线性的这个 条件出发的.这可以从下面的论据得到证实,即玉中的匀速 直线运动在K中也是匀速和直线运动.还有一点,K中的 有限坐标在K中必须保持有限也是不言而喻的.这也意味 着欧几里德几何以及空间和时间的均匀性继续有效.从两个 假设就得到方程 c2+y2+z2-c2t2=0 成立时,相应地必须有方程 y2+ =0 (2) 又因变换必须是线性的,这只当 t2=x(2+y2+ 时才有可能,其中x为与0有关的常数.假如我们再记住 点,即任何平行于m轴的运动经过变换以后还是一样,那么, 立刻可以看出,应该得到§1中的公式(1).尽管如此,还得 证明可以令x等于1.爱因斯坦的步骤是对沿相反方向的速 度再应用一次变换公式(1) a'+ut t+(u/2)x 故 a"=x(u)x(-u)a,y"=x(v)κ(-)%, )x(-v)x, 因K"相对于K为静止,它们必须是恒等的,所以有 t(0)x(-v)=1 在§1中已经指出,x()对应于杆的横向线度的改变,并且 由于对称的原因,应该与速度的方向无关.因此x()=
第I编狭义相对论基础 x(-u).又因x必须为正值,所以上面的关系式给出x(v) 1.邦卡勤曾用类似的方法得到这一结论.他考虑了将方 程(2)变换后仍然一样的所有线性变换的整体(这整体自然地 形成一个群),并要求它包含以下的子群: (a)平行于a轴移动的只有一个参量的群(这里群的参 量就是速度u), (b)坐标轴的通常位移 因为爱因斯坦的对称条件x()=x(-)已包含在(b)中, 所以又一次得到x=1.因而我们得到确定的结果 -0 /22 =t-(/02)a ar2+y/2+z2-c2t2=a2+y2+z2-c22 与公式(D)相逆的变换可以用-0代替而得到34) a'+ot' d+(v/(2) y 由于公式(I)的结构简单,有些人不知道,如果不假设 34)对于某些应用,熟悉一般情形的变换公式是有用处的,在一般情形中 T轴并不在速度v的方向上.把r分解为分量rn(沿相对于五的 速度v的方向)及r1(垂直于v),就可以得到这些变换公式,首先,从 公式(1)可以得出: 8,r1 rD/ 1 但是由于 (r. v)V fIar-TuEr r'=r1+ r 这也可以写成 r=r+ 1-1)(rv)v√1-A 2(√1-8 t=t-(1/2)(rv) 这些公式可以在. herglotz的论文中找到,Am.Phyg,Lyx,3 (911)497,方程9
5.洛伦兹收缩和时间膨胀 15 公式(②)的不变性,就不能从一般的群论的考虑推导出来 Ignatowsky以及 Frank和 Rothe3)曾经证明在某种范围内 事实上是可能的,除了下列假定外,并不需要更多的条件 (a)变换必须组成只有一个参量的齐次线性群; (b)K相对于K的速度与K相对于K的速度相等而 且方向相反; (o)在K中观察到的相对于K为静止的长度缩短等 于在K中观察到的相对于K为静止的长度的缩短 这已经足以证明变换公式必须具有如下形式 t (3) 1 自然,关于a的符号、大小和物理意义,我们是不能加以什么 说明的.因为从群论的假设,只能导出变换公式的一般形式 而不涉及物理内容.附带说明一下,应该注意公式(3)中已包 含着一般力学的变换公式 ot. t'=t (4) 只要在公式(3)中令a=0,就可以得到公式(4).现在一般都 按照 Frank的说法把公式(4)叫做“伽利略变换”.显然,若 在公式(1)中令￠=∞,也可以同样得到伽利略变换 5.洛伦兹收缩和时间膨胀 洛伦兹收缩是变换公式(1)的最简单的结果,因此,也是 两个基本假设的结果.取一根沿m方向放置的杆,它相对于 参考系K为静止,因此,杆两端的位置坐标a和m与时间 35)W. v. Ignatowsky, Arch. Math. Phys., Lpe, 17(1910)1 x 18(1911) 17;Phys.Z-,11(1910)972及12(191)779;P.Fank及五. Rothe Am".Phys.,Lp,34(1911)825及Py8.z,13(1912)750
第工编狭义相对论基础 t无关,杆的静止长度为 a2-a1=1o (5) 另一方面我们可以用下述的方法来决定杆在系统K中的长 度.我们知道a1、m2是时间t的函数,因此在系统K中与杆 的两个端点同时重合的两点之间的距离,称为在运动系统中 杆的长度 a2()-x1(t)=l 因为这两个位置在系统K中不是同时的,我们不能希望l等 于l.事实上,根据公式(I)有 =√1-8,a=1-B 因此 lo ,=b√1-x 正如洛伦兹原先假定的那样,杆按比例√1-R2:1收缩.又 因物体的横向线度并不改变,体积的收缩也可以应用同样的 公式,即 V=Vo√1-B2 我们知道,这种收缩是和同时性的相对性有关的,正因为 这个理由,曾经有过这样的论断30),这种收缩仅是一种“表观” 收缩换句话说它是由于我们的时空测量所引起的.若一种 状态仅当它在所有的伽利略参考系中可以按同一方式确定时 才称为真实,那么洛伦兹收缩诚然仅仅是“表观”收缩而已,因 为一个在K中为静止的观察者看到的杆是没有收缩的.但 6)V. Varicak,Phys.Z-,12(1911)169