1 当n>1 2+1129 证当n=2,因为(22 4→2=2!,故不等式 成立 设n=k时,不等式成立,则 k!< k 则对于n=k+1时,有 (k+1)!<{k+1)(k+1=2k+1)” 由于 k+1 >2(k=1,2,…) 从而有 十1)!< 十1)+1 2 即对于n=k+1时,不等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 !< 9.证明不等式 2!·4!…(2n)!>〔(n+1)!〕当n>1. 证当n=2时,因为2!·4!=48,及〔(2+1)1)2= 36,所以,2!·41>〔(2+1)!2,故不等式成立 设n=k时,不等式成立,即 21·4!…(2k)>〔(距十1)!〕, 则对于n=k+1时,有 2!·4!…(2k+2)!>〔k+1)!k(2k+2)!
+1)!)+2)(+3)…(2+2) >〔(+1)!〕1k+2)*+1=〔(k+2)!)*+1, 即对于n=k+1时,不等式也成立.于是,据归纳法原 理,本题证毕 10.证明不等式 3 4 2n 2n+1 证当n=1时,因为< 不等式显然成立 设n=k时,不等式成立,即 3 2k z42k“√2k+i 对于n=是+1而言,由于 132+1 242+2√+12k 2+1 k+2 故只要证 么土2 √+3 即证(+1)(2+3)<(2+2)2, 而上述不等式由于 4k2+8+3<4k2+8十4, 因而是成立的.于是,最后得 132k 24 十2 2k+3 即对于n=k+1时,不等式也立由归纳法证毕
11.设c为正整数,面不为整数的平方,且A/B为确定实数 √c的分割,其中B类包含所有合于b2>c的正有理数 b,而A类包含所有其余的有理数.求证在A类中无最大 数,而在B类中也无最小数 证设a∈A.若a≤0,则显然存在a>a(a'>0)且 a′∈A.故可设a>0,于是a2≤c.但不可能有a2=c.因 若a2=c,设““办与q为互质的正整数、yy1,从而 由 于c是正整数,而2与q2也是互质的,故必q= c=p2,此与假定矛盾,故必a2<c.下而我们证明,存在 正整数n,使 1 2 于是a,十也属于A 上述不等式相当于 十些十与< 2a 若n满足不等式 2a+1<c-a 则上面的第二个不等式也自然能满足了 为此,只要取 C-a 而这是恒为可能的.因此,不论a为A类内的怎样的数, 在A类内总能找到大于它的数,故A类中无最大数 同法可证B类中也无最小数 实质上,此处分割A/B确定了一个无理数√c 10
12.确定数v2的分割A/B用下面的方法来作成:A类包含 所有的有理数a,而a2<2;B类包含所有其余的有理数 证明在A类中无最大数,而在B类中也无最小数 证设a∈A.即a3<2.下证必可取正整数n,使 十 事实上,上式相当于+当十高<2一a若a≤0,取 n=1即可.若a>0注意到n≥1,即知若取n充分大, 使n>3a2+3a+ 2-a3,则上列各式均成立从而a+∈ A.故A中无最大数 下设b∈B,则b3≥2.下证不可能有b=2.事实上, 若b=2,设b=P,p与q为互质的正整数,则分=2,p 2q2,从而为偶数因此p必为偶数:p=2r,r为正整 数.由于q与是互质的,故q必为奇数,从而q2也为奇 数但q3=43,故q3又必是偶数,因此矛盾.由此可知必 有b>2仿前面之证可取正整数n,使(b-1)>2 从而b-∈B.由此可知B类中无最小数,实质上,此 处分割A/B确定了一个无理数y2 13.作出适当的分割,然后证明等式 √2+√8=√18 (6)√2√3 证(a)作确定√2的分割A/B:一切有理数a≤0以及 满足a2<2的正有理数a都归于A类,切满足b2>2的 11
正有理数b归入B类.又作确定√8的分割A'B:一切 有理数a≤0以及满足a2<8的正有理数a归入A 类,一切满足b2>8的正有理数b′归入B′类,我们知 道,根据实数加法的定义,满足不等式. a+a’<c<b+b(对任何a∈A,b∈B,a'∈A b∈B') 的唯一实数c就是√2+√8.因此,如果我们能证明恒 有(a+a1)2<18(当a+a'>0时),(b+b)2>18,则 有a+a′<√18≤b+b.于是得知√18=c=√2+ 若a+a′>0,则a与a′中至少有一个为正,从而由 aa2<16知aa'<4,从而(a+a)2=a2+a'2+2aa 2+8+8=18;同样,因b2>2,b2>8,b>0,b ,故bb2<16>4,(十b)2=b2+b2+26 2+8+8=18.于是证毕 (6)作确定√2的分割A/B如(a)中所示,再作确定√3 的分割A1/B1;一切有理数a1≤0以及满足a12<3的正 有理数a1归入A1类,一切满足b2>3的正有理数b归 入B1类,根据实数乘法的定义满足 aa1<c1<b1(对任何a∈A,a>0,a1∈A1 a1>0,b∈Bb1∈B1) 的(正)实数c1存在唯一它就是√2·√3但由于当a ∈A,a>0,a1∈A1,a1>0时(aa1)2<6,而当b∈B,b1 ∈B1时,b》2>6.故恒有aa1<√6≤,由此可知 √6=c=√2·√3.证完 12