证当n=1时,等式成立 设对于n=k(自然数)时,等式成立,即 l+2+…+k k(k+1) 2 则对于n=k+1时,有 1+2+…十k十k+1)。k(k+1) 2 +k+1 +1)k+1)+1 2 即对于n=k+1时等式也成立 于是,由数学归纳法知,对于任何自然数n,有 1+2+…+n n(m+1) 2 2.12+2 (n+1)(2n+1) 6 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 12+22+…+k k〔k+1)(2k+1) 6 则对于n=k+1时,有 12+22+…+k2+(k+1)2 是(+1)(2k+1) 6 干k+1)2 k(+1)[k(2+1)+6(+1) +1)(+1)+1)〔2k+1)+1) 6 即对于n=k+1,时等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 n(n+1)(2n+1)
3.13+23+…+n3=(1+2+…+n) 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 13+23+…+k3=(1+2 +k) 则对于n=k十1时,有 13+23+ k3十(更+1) (1+2-…+k)2+(k+1)3 k2(k+1) 十〔+1) (k+1)2(k+2)2 (k+1)〔(k+1)+1 (1+2+…+(k+1)〕2, 即对于n=k+1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +23+… 4.1+2+22 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 1+2+22+…+2* 则对于n=k+1时,有 1+2+22+…+2-1+2 (2*-1)+2=2 即对于n=k十1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +2+2+…+2 2n-1
5.设 (a…h)…〔 1)h〕及 1,求证 (at b))=>Cmace-mib(m) 其中C是由n个元素中选取m个的组合数,由此推出牛 顿的二项式公式 证当n=1时,由于 La+b 十b 及 b 十b, 所以等式成立 设 时,等式成立,即 (a+b))=∑a (1) 则对于n=k+1时,有 十b (a+b) +b-k) (2) 将(1)式代入(2)式得 (a十b)1=(a+b-h)·∑Ca-"bm) a+b-kh)Cha bco,+ Cia 〔融1A01〕 …+Ca0b} kh)十b}Cab +{a-(-1)h)十(b-h)}Ca-1b0 …十{a+(-h)}Cab Ciat+ 16c0+Cha)+ Claab13 C-1b2)+…十Ca①b t Crab 〔k+1
Ci+a+1bc02+(Ce+C)acb(13 +(C4-1+Cab(1+(+a0)b+1 +a+1)b0+CQ+1a(4 )1 (Ci+)+Ci+laco)b b 故由(a+b)=∑ Cra -)bon可推得下式成立: )(+1=∑Cx+a+1-m)bm 即对于n=k+1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +b) C pb 在式子 h)… (n-1)h 中,令h=0,即得 将(4)式代入(3)式,得牛顿二项式公式 (a+b)=>)Ca-"b 6.证明贝努里不等式 1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+ 式中x1,x2,…,x是符号相同且大于-1的数 证当 时,此式取等号 设n=免时,不等式成立,即
(1+x1)(1+x2)…(1+xk)≥1+x1+x2+ 则对于n=k十1时,由于x(i=1,2,…,n)大于-1, 所以1+x>0.因而有 (1+x)(1+x2)…(1+xk)(1+x+1) (1+x1+x2+…+x)(1+x+1) (1+x1+x2+…+xk+xk+1) (x1xk+1·十x2x+1十…十xkxh+1) 由于xx≥0,所以 (1+x1)(1+x2)…(1+xx+3) 1十x1+x2+…十xk+1 即对于n=k+1时,不等式也成立, 于是,对于任何自然数n,有 (1+x1)(1+x2)…(1+xn) 1十x1+x2+“十 7.证明若x>-1,则不等式 (1+x)≥1十nx(m>1) 为真,且仅当x=0时,等号成立 证只要在6题的贝努里不等式中,设 x 1,2…, 即得证 (1+x)≥1+nx, 从6题的证明过程中看出,仅当x=0时,上式才取等 号 8.证明不等式