14.建立确定数2的分割 解先作分割A1/B1,使之确定数√2 其次,作分割A/B,其中A类包含仝体负有理数、零 以及满足下述条件的正有理数a: 如果有(、q互质)属于A1,则有 <2 而其余的正有理数归入B类 这样的分割A/B就确定数2 15.求证任何非空且下方有界的数集有下确界,而任何非空 且上方有界的数集有上确界. 证不失一般性,只证本题的后半部分,分两种情形: (1)A中有最大数a.设a∈A,此时则有a≤a,说明 a为A的上界.又由于a∈A,放对A的任何上界M,均有 a≤M,故a为A的有上确界 (2)A中无最大数,此时,作分割A1/B1:取集A的 切上界归入B1类,而其余的数归入A1类,这样,A中 切数全部落在A1内,A1及A2均非空,且A1中的数小于 B1中的数这确实是一个实数分割易知由此分割所产 生的实数是B1类中的最小数,即β是A的最小上界,从 而β是A的上确界 16.证明一切有理真分式2(式中m及n为自然数,且0<m <n)的集合无最小及最大的元素并求集合的上确界及 下确界, 证令E表一切有理真分式“(式中正整数m,n满足0 13
<m<n)所成的集合对任何∈E,显然+1∈E 且 n+>,又n∈E,且m<;放E中既无最大 数,也无最小数.显然 supe=1 fE 17.有理数r满足不等式 <2. 求这些有理数r所成集合的下确界和上确界 解用E表所有满足r2<2的有理数r所成的集合, 我们知道,分割A/B确定无理数√2,这里A表由一切 非正有理数以及满足r2<2的正有理数r所成的类,B表 其余有理数构成的类,并且已证A中无最大数,于是 supE supA 2 同样,分割A'/B确定无理数-2,这里B'表由所有 非负有理数以及满足r2<2的负有理数r构成的类,A 表其余有理数构成的类,并且B′中无最小数.于是,显然 有 infE=infB′=-√2 18.设{-x}为数的集合,这些数是与x∈{x}符号相反的 数,证明等式: ainf(-x)=-sup(x);(6)sup(-x)=-inf(z). 证(a)设in{-x}=m’,则有 (1)当一x∈{-x}时,一x≥m; (2)对于任何的正数e,存在有-x′∈{-x},使 m十E 由()及(2)推得
3)当x∈{x}时,x≤ (4)对于任何的正数E,存在有x∈{x},使 由(3)及(4)知数一m=sup{x},即m=-sup{x},所 以inf up } (6)设sup{-x}=M,则有: 当-x∈{-x}时 (6)对于任何的正数E,存在有一x∈{一x},使 x>m' 由(5)及(6)推得 (7)当x∈{x}时,x≥-M 〔8)对于任何的正数e,存在有x∈{x},使 由(7)及(8)知数-M′=inf{x),即M inf{x},所 以,sup{-x} 19.设{x+y}为所有x+y这些和的集合,其中x∈{x}及 y∈{y}.证明等式: (a)inf(x+y)= inf (r)+ inf(y), (6)sup(x +y)= supl)+ sup(). 证(a)设inf(x}=m1inf{y}=m2,则有: (1)当x∈{x},y∈(y}时,x≥m1,y≥m2 (2)对于任何的正数E,存在有数x'∈{x},y′∈{y},使 <m, 2 < mst 由(1)及(2)推得: (3)当x+y∈(x+y}时(其中x∈{x},y∈{y}), 15
y≥mn1+m2; (4)对于任何的正数e,存在有x+y∈{x+y}(其中 x},y'∈{y}),使 y1<(m1+m2)+e 由(3)及(4)知数m1+m2=inf{x+y},即 Inf (r (6)同法可证 sup (e +y)= supfx)+suply 20.设{xy}为所有xy乘积的集合,其中x∈{x}及y∈{y}, 且x≥0及y≥0.证明等式: (a)inf(xy)= inf(x inf(y); (6sup(]sup fy)= sup(xy) 证(a)设inf{x}=m1,inf{y} 由于恒有x≥0 ≥0.故必m1≥0,m2≥0.于是 )当x∈{x},y∈{y)时,x≥m1≥0,y≥m2≥0 (2)对任何的正数E存在有数x∈{x},y∈{y},使 0≤x<m1+E,0≤y'<m2+t 由(1)及(2)推得: (3)当xy∈{xy},其中x∈{x},y∈{y},xy≥mm2} (4)对于任何的正数E,存在有xy∈{xy}其中x∈ {x},y∈{y}),使 osr'y'<(m + e)(m2 +e)=mmyte' 其中 +mde+E2 由(3)及(4)知数m1m2=inf{xy},即 inf(xy)= inf(c& s). (6)同法可证 16
supay)= sup(r]supyy 21.求证不等式 (a)|x-y≥1x|-|y1 ()|x+x1+…+x≥|x|-(|x31+…+xn1) 证(a)由|x-y|=|x+(-y)≥|{-}-y 及 (}xl-ly|), 即得 也可如下证明:由!xy|≥xy知 x2-2xy+y2>r2-2xyl +y2 则 )2≥(|x|-|y1) 开方即得 (6)x+x1+…+x≥x|-|x1+…+x。, 而|x1+…+x≤|x1|+|x2+…+x≤ ≤|x1|+|x2十…+|xn, 所以, x+x1+…+xn!≥|x-(|x1|+…+|x|) 解不等式 22.|x+1|<0.01 解由|x+1<0.01推得 0.01<x+1<0.01, 所以, 17